Google
Câu hỏi: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{x\left({2 + x} \right)}}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}}\)?
A. \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)
B. \(\displaystyle \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)
C. \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)
D. \(\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)
A. \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)
B. \(\displaystyle \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)
C. \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)
D. \(\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm của hàm số đã cho bằng cách biến đổi về các hàm số cơ bản có công thức tính nguyên hàm.
Chú ý: Nếu \(\displaystyle F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\) thì \(\displaystyle F\left( x \right) + C\) với \(\displaystyle C\) là một hẳng số cũng là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{x\left({2 + x} \right)}}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left({1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \) \(\displaystyle = x + \frac{1}{{x + 1}} + C\)
: \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = x - \frac{1}{{x + 1}}\) nên không là nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
: \(\displaystyle \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 2\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
: \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
: \(\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 1\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
Tính nguyên hàm của hàm số đã cho bằng cách biến đổi về các hàm số cơ bản có công thức tính nguyên hàm.
Chú ý: Nếu \(\displaystyle F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\) thì \(\displaystyle F\left( x \right) + C\) với \(\displaystyle C\) là một hẳng số cũng là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{x\left({2 + x} \right)}}{{{{\left({x + 1} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left({1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \) \(\displaystyle = x + \frac{1}{{x + 1}} + C\)
: \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = x - \frac{1}{{x + 1}}\) nên không là nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
: \(\displaystyle \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 2\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
: \(\displaystyle \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
: \(\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 1\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle f\left( x \right)\).
Đáp án A.