Google
Câu hỏi: Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle Ox\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = {\sin ^{\frac{3}{2}}}x, y = 0, x = 0\) và \(\displaystyle x = \frac{\pi }{2}\) bằng
A. \(\displaystyle 1\)
B. \(\displaystyle \frac{2}{7}\)
C. \(\displaystyle 2\pi \)
D. \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi \)
A. \(\displaystyle 1\)
B. \(\displaystyle \frac{2}{7}\)
C. \(\displaystyle 2\pi \)
D. \(\displaystyle \frac{2}{3}\pi \)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính thể tích \(\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {{{\sin }^{\frac{3}{2}}}x} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}xdx} \) \(\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} \)
\(\displaystyle = - \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)d\left({\cos x} \right)} \) \(\displaystyle = - \pi .\left. {\left( {\cos x - \frac{{{{\cos }^3}x}}{3}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle = - \pi \left( { - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\)
Sử dụng công thức tính thể tích \(\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {{{\sin }^{\frac{3}{2}}}x} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}xdx} \) \(\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} \)
\(\displaystyle = - \pi .\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)d\left({\cos x} \right)} \) \(\displaystyle = - \pi .\left. {\left( {\cos x - \frac{{{{\cos }^3}x}}{3}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \(\displaystyle = - \pi \left( { - 1 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}\)
Đáp án D.