Bài 3.33 trang 164 SBT hình học 10

Câu hỏi: Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) biết

Câu a​

(E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\dfrac{9}{5}} \right)\) và \(N\left( {3;\dfrac{{12}}{5}} \right)\);
Phương pháp giải:
- Gọi phương trình elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
- Thay tọa độ các điểm \(M, N\) vào \(\left( E \right)\), lập hệ phương trình ẩn \(a, b\).
- Giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
(E) đi qua \(M\left( {4;\dfrac{9}{5}} \right)\)và \(N\left( {3;\dfrac{{12}}{5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{16}}{{{a^2}}} + \dfrac{{81}}{{25{b^2}}} = 1\\\dfrac{9}{{{a^2}}} + \dfrac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9.\end{array} \right.\)
Vậy phương trình của (E) là : \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Câu b​

(E) đi qua \(M\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại \(M\).
Phương pháp giải:
- Gọi phương trình elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
- Sử dụng chú ý \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) \(\Leftrightarrow OM = O{F_1} = O{F_2} = c\) tìm \(c\).
Lời giải chi tiết:
Xét elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Vì \(M\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \(\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\).  (1)
Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\) (\(MO\) là trung tuyến của tam giác vuông \(M{F_1}{F_2}\))
\(\Rightarrow {c^2} = OF_1^2 = O{M^2} = \dfrac{9}{5} + \dfrac{{16}}{5} = 5\) và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\).
Thay vào (1) ta được: \(\dfrac{9}{{5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) \(\Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5)\)
\( \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 9{b^2} + 16{b^2} + 80 = 5{b^4} + 25{b^2}\\
\Leftrightarrow 5{b^4} = 80\\
\Leftrightarrow {b^4} = 16\\
\Leftrightarrow {b^2} = 4\\
\Rightarrow {a^2} = {b^2} + 5 = 4 + 5 = 9
\end{array}\)
Vậy phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).