Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \({C_1}\left( {{F_1}; 2a} \right)\) cố định và một điểm \({F_2}\) cố định nằm trong \(\left( {{C_1}} \right)\).
Xét đường tròn di động \(\left( C \right)\) có tâm \(M\). Cho biết \(\left( C \right)\) luôn đi qua \({F_2}\) và \(\left( C \right)\) luôn tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\). Hãy chứng tỏ \(M\) di động trên một elip.
Xét đường tròn di động \(\left( C \right)\) có tâm \(M\). Cho biết \(\left( C \right)\) luôn đi qua \({F_2}\) và \(\left( C \right)\) luôn tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\). Hãy chứng tỏ \(M\) di động trên một elip.
Phương pháp giải
Chứng minh \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) không đổi, dử dụng định nghĩa elip suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
\(C\left( {M, R} \right)\)đi qua \({F_2} \Rightarrow M{F_2} = R\) (1)
\(C\left( {M, R} \right)\)tiếp xúc với \({C_1}\left( {{F_1}; 2a} \right) \Rightarrow M{F_1} = 2a - R\) (2)
Lấy (1) + (2) vế với vế ta được \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\).
Vậy \(M\) di động trên elip \((E)\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\), \({F_2}\) và trục lớn \(2a\).
Chứng minh \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) không đổi, dử dụng định nghĩa elip suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
\(C\left( {M, R} \right)\)đi qua \({F_2} \Rightarrow M{F_2} = R\) (1)
\(C\left( {M, R} \right)\)tiếp xúc với \({C_1}\left( {{F_1}; 2a} \right) \Rightarrow M{F_1} = 2a - R\) (2)
Lấy (1) + (2) vế với vế ta được \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\).
Vậy \(M\) di động trên elip \((E)\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\), \({F_2}\) và trục lớn \(2a\).