Bài 2.9 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên \(R\). Đặt \(S\left( x \right) = f\left(x \right) + g\left(x \right)\) và \(P\left( x \right) = f\left(x \right)g\left(x \right).\) Chứng minh rằng :

Câu a​

Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên các hàm số \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng xác định trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}S\left( { - x} \right) = f\left({ - x} \right) + g\left({ - x} \right)\\ = f\left(x \right) + g\left(x \right) = S\left(x \right)\end{array}\)
Do đó \(y = S\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(\begin{array}{l}P\left( { - x} \right) = f\left({ - x} \right). G\left({ - x} \right)\\ = f\left(x \right). G\left(x \right) = P\left(x \right)\end{array}\)
Do đó \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Câu b​

Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
Lời giải chi tiết:
Với x tùy ý thuộc R, ta có : \(f\left( { - x} \right) =  - f\left(x \right)\) và \(g\left( { - x} \right) =  - g\left(x \right)\) (vì f và g là những hàm số lẻ) ; do đó
\(\eqalign{
& S\left({ - x} \right) = f\left({ - x} \right) + g\left({ - x} \right) \cr 
& = - f\left(x \right) - g\left(x \right) \cr 
& = - \left[ {f\left(x \right) + g\left(x \right)} \right] \cr 
& = - S\left(x \right) \cr} \)
\(\eqalign{
& P\left({ - x} \right) = f\left({ - x} \right)g\left({ - x} \right) \cr 
& = \left[ { - f\left(x \right)} \right]\left[ { - g\left(x \right)} \right] \cr 
& = f\left(x \right)g\left(x \right) \cr 
& = P\left(x \right) \cr} \)
Vậy \(y = S(x)\) là hàm số lẻ và \(y = P(x)\) là hàm số chẵn.

Câu c​

Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Lời giải chi tiết:
Với \(x\) tùy ý thuộc \(R\), ta có : \(f\left( { - x} \right) = f\left(x \right)\) và \(g\left( { - x} \right) =  - g\left(x \right)\) (vì \(f\) là hàm số chẵn và \(g\) là hàm số lẻ) ; do đó
\(P\left( { - x} \right) = f\left({ - x} \right)g\left({ - x} \right) \)
\(= f\left( x \right)\left[ { - g\left(x \right)} \right]\)
\(=  - f\left( x \right)g\left(x \right)\)
\(=  - P\left( x \right).\)
Vậy \(y = P(x)\) là hàm số lẻ.