Google
Câu hỏi: Bằng cách xét tỉ số \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}}\), hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khoảng đã cho:
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({x_2^2 + 4{x_2} + 1} \right) - \left({x_1^2 + 4{x_1} + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({x_2^2 - x_1^2} \right) + \left({4{x_2} - 4{x_1}} \right) + \left({1 - 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left({{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1} + 4} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= {x_2} + {x_1} + 4
\end{array}\)
Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({ - x_2^2 + 2{x_2} + 5} \right) - \left({ - x_1^2 + 2{x_1} + 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({ - x_2^2 + x_1^2} \right) + \left({2{x_2} - 2{x_1}} \right) + \left({5 - 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{ - \left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1}} \right) + 2\left({{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({ - {x_2} - {x_1} + 2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= - {x_2} - {x_1} + 2
\end{array}\)
Trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right),\) ta có \(- {x_2} - {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \(- {x_2} - {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Lời giải chi tiết:
Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có :
\(\eqalign{
& f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr
& = \frac{{{x_2}\left({{x_1} + 1} \right) - {x_1}\left({{x_2} + 1} \right)}}{{\left({{x_2} + 1} \right)\left({{x_1} + 1} \right)}} \cr&= \frac{{{x_2}{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - {x_1}}}{{\left({{x_2} + 1} \right)\left({{x_1} + 1} \right)}}\cr&= {{{x_2} - {x_1}} \over {\left({{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}}, \cr
& {{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left({{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}} \cr} \)
Do đó:
- Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
- Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)\\
= \frac{{2{x_2} + 3}}{{ - {x_2} + 2}} - \frac{{2{x_1} + 3}}{{ - {x_1} + 2}}\\
= \frac{{\left({2{x_2} + 3} \right)\left({ - {x_1} + 2} \right) - \left({2{x_1} + 3} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 2{x_2}{x_1} - 3{x_1} + 4{x_2} + 6 + 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} - 4{x_1} - 6}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7{x_2} - 7{x_1}}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7\left({{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
\Rightarrow \frac{{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{7}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}
\end{array}\)
Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty; 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) .
Câu a
\(y = {x^2} + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({x_2^2 + 4{x_2} + 1} \right) - \left({x_1^2 + 4{x_1} + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({x_2^2 - x_1^2} \right) + \left({4{x_2} - 4{x_1}} \right) + \left({1 - 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left({{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1} + 4} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= {x_2} + {x_1} + 4
\end{array}\)
Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.
Câu b
\(y = - {x^2} + 2x + 5\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\frac{{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({ - x_2^2 + 2{x_2} + 5} \right) - \left({ - x_1^2 + 2{x_1} + 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({ - x_2^2 + x_1^2} \right) + \left({2{x_2} - 2{x_1}} \right) + \left({5 - 5} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{ - \left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1}} \right) + 2\left({{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= \frac{{\left({{x_2} - {x_1}} \right)\left({ - {x_2} - {x_1} + 2} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\
= - {x_2} - {x_1} + 2
\end{array}\)
Trên khoảng \(\left( { - \infty; 1} \right),\) ta có \(- {x_2} - {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \(- {x_2} - {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Câu c
\(y = {x \over {x + 1}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)Lời giải chi tiết:
Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có :
\(\eqalign{
& f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr
& = \frac{{{x_2}\left({{x_1} + 1} \right) - {x_1}\left({{x_2} + 1} \right)}}{{\left({{x_2} + 1} \right)\left({{x_1} + 1} \right)}} \cr&= \frac{{{x_2}{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} - {x_1}}}{{\left({{x_2} + 1} \right)\left({{x_1} + 1} \right)}}\cr&= {{{x_2} - {x_1}} \over {\left({{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}}, \cr
& {{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left({{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}} \cr} \)
Do đó:
- Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
- Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left({{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Câu d
\(y = {{2x + 3} \over { - x + 2}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty; 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)\\
= \frac{{2{x_2} + 3}}{{ - {x_2} + 2}} - \frac{{2{x_1} + 3}}{{ - {x_1} + 2}}\\
= \frac{{\left({2{x_2} + 3} \right)\left({ - {x_1} + 2} \right) - \left({2{x_1} + 3} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{ - 2{x_2}{x_1} - 3{x_1} + 4{x_2} + 6 + 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} - 4{x_1} - 6}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7{x_2} - 7{x_1}}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
= \frac{{7\left({{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}\\
\Rightarrow \frac{{f\left({{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{7}{{\left({ - {x_1} + 2} \right)\left({ - {x_2} + 2} \right)}}
\end{array}\)
Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty; 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) .
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!