Google
Câu hỏi: Cho \(a > 0, b > 0\), nếu \(a< b\) hãy chứng tỏ:
a) \({a^2} < ab\) và \(ab < {b^2}\)
b) \({a^2} < {b^2}\) và \({a^3} < {b^3}\)
a) \({a^2} < ab\) và \(ab < {b^2}\)
b) \({a^2} < {b^2}\) và \({a^3} < {b^3}\)
Phương pháp giải
- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Áp dụng tính chất bắc cầu : Nếu \(a<b ; b<c\) thì \(a<c.\)
Lời giải chi tiết
a) Với \(a > 0, b > 0\) ta có:
Vì \(a < b \Rightarrow a.a < a.b \Rightarrow {a^2} < ab\) \((1)\)
Vi \(a < b \Rightarrow a.b < b.b \Rightarrow ab < {b^2}\) \((2)\)
b) Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \({a^2} < {b^2}\)
Ta có: \(a < b \Rightarrow a.a^2<b.a^2\Rightarrow {a^3} < {a^2}b\) \((3)\)
\(a < b \Rightarrow a.b^2<b.b^2\Rightarrow a{b^2} < {b^3}\) \((4)\)
\(a < b \Rightarrow a.ab < b.ab \Rightarrow {a^2}b < a{b^2}\) \((5)\)
Từ \((3)\), \((4)\) và \((5)\) suy ra: \({a^3} <a^2b<ab^2< {b^3}\)
Vậy \(a^3<b^3.\)
- Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương : Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
- Áp dụng tính chất bắc cầu : Nếu \(a<b ; b<c\) thì \(a<c.\)
Lời giải chi tiết
a) Với \(a > 0, b > 0\) ta có:
Vì \(a < b \Rightarrow a.a < a.b \Rightarrow {a^2} < ab\) \((1)\)
Vi \(a < b \Rightarrow a.b < b.b \Rightarrow ab < {b^2}\) \((2)\)
b) Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \({a^2} < {b^2}\)
Ta có: \(a < b \Rightarrow a.a^2<b.a^2\Rightarrow {a^3} < {a^2}b\) \((3)\)
\(a < b \Rightarrow a.b^2<b.b^2\Rightarrow a{b^2} < {b^3}\) \((4)\)
\(a < b \Rightarrow a.ab < b.ab \Rightarrow {a^2}b < a{b^2}\) \((5)\)
Từ \((3)\), \((4)\) và \((5)\) suy ra: \({a^3} <a^2b<ab^2< {b^3}\)
Vậy \(a^3<b^3.\)