Google
Câu hỏi: a) Chứng minh đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ bất kì
b) Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 \). Tinh \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
b) Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 \). Tinh \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Phương pháp giải
Bước 1: Dựng hình bình hành ABCD sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \)
Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và hệ thức lượng trong tam giác để chứng minh đẳng thức
\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
Bước 3: Áp dụng đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) để tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Xét hình bình hành ABCD thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \)
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = AC\)
Mà \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.AC.\cos B = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD.\cos B\)
Mặt khác, \(\widehat {BAD} + \widehat B = {180^0} \Rightarrow \cos \widehat B = - \cos \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + A{D^2} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2AB.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) (ĐPCM)
b) Theo a) \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{{{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}{2} = \frac{{{{\sqrt 7 }^2} - {2^2} - {3^2}}}{2} = - 3\)
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 3 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 3}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^0}\)
Bước 1: Dựng hình bình hành ABCD sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \)
Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và hệ thức lượng trong tam giác để chứng minh đẳng thức
\({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
Bước 3: Áp dụng đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) để tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Xét hình bình hành ABCD thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \)
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = AC\)
Mà \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.AC.\cos B = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD.\cos B\)
Mặt khác, \(\widehat {BAD} + \widehat B = {180^0} \Rightarrow \cos \widehat B = - \cos \widehat {BAD}\)
\( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + A{D^2} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2AB.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) (ĐPCM)
b) Theo a) \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)
\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{{{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}{2} = \frac{{{{\sqrt 7 }^2} - {2^2} - {3^2}}}{2} = - 3\)
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 3 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 3}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^0}\)