Bài 17 trang 218 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Tính các tích phân sau:

Câu a​

\(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx} \) (đặt t  = x  +3)
Lời giải chi tiết:
Đổi biến \(t = x + 3  \Rightarrow  x – 2 = t – 5\) . Khi x = - 2 thì t = 1, khi x = 4 thì t = 7, ta có:
\(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx = \int\limits_1^7 {(1 - {{10} \over t} + {{25} \over {{t^2}}}} })dt\)
\(= (t - 10\ln t - {{25} \over t})\left| {\matrix{7 \cr 1 \cr} } \right. = 27{3 \over 7} - 10\ln 7\)

Câu b​

\(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx} \)
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx}\)
\(=  - 7\int\limits_{ - 4}^{ - 3} {dx}  + \int\limits_{ - 3}^4 {(2x - 1)dx}  + \int\limits_4^6 {7dx}  = 7\)

Câu c​

\(\int\limits_{ - 3}^2 {{{dx} \over {\sqrt {x + 7}  + 3}}} \)    (đặt \(t = \sqrt {x + 7} \)  hoặc \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\) )
Lời giải chi tiết:
Đổi biến \(t = \sqrt {x + 7} \)  , ta có \(I = \int\limits_2^3 {{{2tdt} \over {t + 3}}}  = 2 - 6\ln 1,2\)
Nếu đổi biến \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\)  thì ta có \(I = \int\limits_5^6 {(2 - {6 \over t})dt} \)

Câu d​

\(\int\limits_0^3 {(x + 2){e^{2x}}dx} \)
Lời giải chi tiết:
Đặt   \(u = x + 2, dv = {e^{2x}}dx \Rightarrow du = dx, v = {1 \over 2}{e^{2x}}\)
Ta có  \(I = {1 \over 2}(x + 2){e^{2x}}\left| {\matrix{3 \cr 0 \cr} } \right. - {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^{2x}}} dx\)
\(= {1 \over 2}(5{e^6} - 2) - {1 \over 4}({e^6} - 1) = {3 \over 4}(3{e^6} - 1)\)

Câu e​

\(\int\limits_2^5 {{{\sqrt {4 + x} } \over x}dx} \) (đặt \(t = \sqrt {4 + x} \) )
Lời giải chi tiết:
Đổi biến  \(t = \sqrt {4 + x} \)
\(I = 2\int\limits_{\sqrt 6 }^3 {(1 + {1 \over {t - 2}} - {1 \over {t + 2}})dt}\)
\(= 2(t + \ln {{t - 2} \over {t + 2}})\left| {\matrix{3 \cr {\sqrt 6 } \cr} } \right. \)
\(= 2[3 - \sqrt 6 - \ln (25 - 10\sqrt 6){\rm{]}}\)