Google
Câu hỏi: Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.
a. Tính khoảng cách từ I đến AB
b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?
a. Tính khoảng cách từ I đến AB
b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?
Phương pháp giải
- Vận dụng tính chất của tam giác cân và tính chất về giao điểm hai đường chéo của hình vuông.
- Xác định khoảng cách giữa I với đoạn thẳng AB.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB
⇒ CE // DF // IH (cùng vuông với AB)
Suy ra DCEF là hình thang.
Xét hình thang DCEF có:
CE // DF // IH và IC = ID (vì I là trung điểm của CD)
Nên H là trung điểm cạnh EF
Suy ra IH là đường trung bình của hình thang DCEF
\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) (1)
Vì C là tâm hình vuông AMNP nên \(CA=CM\) (tính chất) và \(\widehat{ACM}=90^0\)
⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C
Lại có CE ⊥ AM hay CE là đường cao của tam giác cân CAM
⇒ CE cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ CE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vì D là tâm hình vuông BMLK nên \(DB=DM\) (tính chất) và \(\widehat{MDB}=90^0\)
⇒ ∆ DBM vuông cân tại D
Có DF ⊥ BM nên DF là đường cao của tam giác cân DBM
⇒ DF cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vậy CE + DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM + \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM
= \(\displaystyle {1 \over 2}\) (AM + BM) = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB = \(\displaystyle {a \over 2}\)
Từ (1) ta suy ra:
\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) \(=\displaystyle {{\displaystyle {a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\)
b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN
Ta có: AN ⊥ MP (2) (tính chất hình vuông APNM)
BL ⊥ MK (3) (tính chất hình vuông BMLK)
Lại có: \(\widehat {PMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMN} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông nên MP là phân giác góc AMN)
\(\widehat {KMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {BML} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do BMLK là hình vuông nên MK là phân giác góc BML)
\( \Rightarrow \widehat {PMK} = \widehat {PMN} + \widehat {NMK} \)\(= {45^0} + {45^0} = {90^0}\)
Suy ra MP ⊥ MK (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra BL ⊥ AN
Lại có \(\widehat {QAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {MAP} \)\(= \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông)
⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định.
Khi M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)
Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) .
- Vận dụng tính chất của tam giác cân và tính chất về giao điểm hai đường chéo của hình vuông.
- Xác định khoảng cách giữa I với đoạn thẳng AB.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB
⇒ CE // DF // IH (cùng vuông với AB)
Suy ra DCEF là hình thang.
Xét hình thang DCEF có:
CE // DF // IH và IC = ID (vì I là trung điểm của CD)
Nên H là trung điểm cạnh EF
Suy ra IH là đường trung bình của hình thang DCEF
\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) (1)
Vì C là tâm hình vuông AMNP nên \(CA=CM\) (tính chất) và \(\widehat{ACM}=90^0\)
⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C
Lại có CE ⊥ AM hay CE là đường cao của tam giác cân CAM
⇒ CE cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ CE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vì D là tâm hình vuông BMLK nên \(DB=DM\) (tính chất) và \(\widehat{MDB}=90^0\)
⇒ ∆ DBM vuông cân tại D
Có DF ⊥ BM nên DF là đường cao của tam giác cân DBM
⇒ DF cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
⇒ DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Vậy CE + DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM + \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM
= \(\displaystyle {1 \over 2}\) (AM + BM) = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB = \(\displaystyle {a \over 2}\)
Từ (1) ta suy ra:
\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) \(=\displaystyle {{\displaystyle {a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\)
b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN
Ta có: AN ⊥ MP (2) (tính chất hình vuông APNM)
BL ⊥ MK (3) (tính chất hình vuông BMLK)
Lại có: \(\widehat {PMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMN} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông nên MP là phân giác góc AMN)
\(\widehat {KMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {BML} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do BMLK là hình vuông nên MK là phân giác góc BML)
\( \Rightarrow \widehat {PMK} = \widehat {PMN} + \widehat {NMK} \)\(= {45^0} + {45^0} = {90^0}\)
Suy ra MP ⊥ MK (4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra BL ⊥ AN
Lại có \(\widehat {QAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {MAP} \)\(= \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông)
⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định.
Khi M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)
Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) .