Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a. Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.
a. Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
c. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.
Phương pháp giải
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
- Tính chất về các cạnh và đường chéo của hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a) Xét tứ giác DEBF: AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) hay DF // EB
EB = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (do E là trung điểm của AB)
DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (do F là trung điểm của DC)
Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra: EB = DF
Vậy tứ giác DEBF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD
OB = OD (tính chất hình bình hành ABCD)
Vì tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD
Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn
c. Vì DEBF là hình bình hành nên DE//BF
Suy ra \(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (so le trong)
Xét ∆ EOM và ∆ FON:
\(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (chứng minh trên)
OE = OF (tính chất hình bình hành DEBF)
\(\widehat {MOE} = \widehat {NOF}\) (đối đỉnh)
Do đó : \(∆ EOM = ∆ FON (g.c.g)\)\( ⇒ OM = ON\)
Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
- Tính chất về các cạnh và đường chéo của hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a) Xét tứ giác DEBF: AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) hay DF // EB
EB = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (do E là trung điểm của AB)
DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (do F là trung điểm của DC)
Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra: EB = DF
Vậy tứ giác DEBF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD
OB = OD (tính chất hình bình hành ABCD)
Vì tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD
Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn
c. Vì DEBF là hình bình hành nên DE//BF
Suy ra \(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (so le trong)
Xét ∆ EOM và ∆ FON:
\(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (chứng minh trên)
OE = OF (tính chất hình bình hành DEBF)
\(\widehat {MOE} = \widehat {NOF}\) (đối đỉnh)
Do đó : \(∆ EOM = ∆ FON (g.c.g)\)\( ⇒ OM = ON\)
Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)