Bài 157 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

Phương pháp giải
- Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông.
Lời giải chi tiết

Trong ∆ ABC ta có EF là đường trung bình nên EF // AC và EF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (1)
Trong ∆ ADC ta có HG là đường trung bình nên HG // AC và HG = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành
a. Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF
Mà \(EF//AC\) (chứng minh trên) và \(EH//BD;EH=\dfrac{1}2BD\) (do EH là đường trung bình của tam giác ABD)
Do đó \(EH ⊥ EF⇔ AC ⊥ BD\)
Vậy tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì \(AC ⊥ BD\)
b. Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF
Mà EF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (chứng minh trên) và \(EH=\dfrac{1}2BD\) (chứng minh trên)
Nên \(EH = EF⇔ AC = BD\)
Vậy tứ giác EFGH là hình thoi thì \(AC = BD\)
c. Tứ giác EFGH là hình vuông khi EFGH vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật.
Từ câu a, b suy ra tứ giác EFGH là hình vuông \(⇔ AC ⊥ BD\) và \(AC = BD\)