Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC.
a. Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành.
b. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật ?
c. Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì ?
a. Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành.
b. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật ?
c. Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì ?
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức :
- Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật và hình thoi.
Lời giải chi tiết
a. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: GD = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GB (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
GH = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GB (gt)
Suy ra: GD = GH
GE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GC (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
GK = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GC (gt)
Suy ra: GE = GK
Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
b. Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK
Mà DH = \(\displaystyle {2 \over 3}\)BD; EK = \(\displaystyle {2 \over 3}\)CE (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
Nên DH = EK ⇒ BD = CE ⇒ ∆ ABC cân tại A (tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân)
Vậy ∆ ABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.
c. Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK
Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi.
Vận dụng kiến thức :
- Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật và hình thoi.
Lời giải chi tiết
a. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: GD = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GB (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
GH = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GB (gt)
Suy ra: GD = GH
GE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GC (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
GK = \(\displaystyle {1 \over 2}\)GC (gt)
Suy ra: GE = GK
Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
b. Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK
Mà DH = \(\displaystyle {2 \over 3}\)BD; EK = \(\displaystyle {2 \over 3}\)CE (tính chất đường trung tuyến của tam giác)
Nên DH = EK ⇒ BD = CE ⇒ ∆ ABC cân tại A (tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân)
Vậy ∆ ABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.
c. Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK
Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi.