Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 101 SBT Toán 8 tập 1

Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình thoi; dấu hiệu nhận biết hình vuông.
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông
Lời giải chi tiết

a. Ta có: E là trung điểm của BC (gt)
D là trung điểm của AB (gt)
nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
Suy ra DE = AF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AC (1)
Lại có:
E là trung điểm của BC (gt)
F là trung điểm của AC (gt)
nên EF là đường trung bình ∆ ABC
⇒ EF = AD = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (2)
Mà AB = AC (3) (do tam giác ABC cân tại A)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = DE = EF = AF
Vậy tứ giác ADEF là hình thoi.
b. Hình thoi ADEF là hình vuông ⇒ \(\widehat A = {90^0}\)
⇒ ∆ ABC vuông cân tại A
Ngược lại nếu ∆ ABC vuông cân tại A
⇒ Tứ giác ADEF là hình thoi có \(\widehat A = {90^0}\)
⇒ Hình thoi ADEF là hình vuông
Vậy hình thoi ADEF là hình vuông thì ∆ ABC vuông cân tại A.