Google
Câu hỏi: Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.
Lời giải chi tiết
Dễ thấy \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h thì
\(\eqalign{ & R = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}} (1) \cr & {V_{S. ABC}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}. H (2) \cr} \)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\eqalign{ {V_{S. ABC}} &= {{\sqrt 3 } \over {12}}h\left( {6Rh - 3{h^2}} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over {12}}h. 3h\left({2R - h} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over 4}h. H\left({2R - h} \right). \cr} \)
Mặt khác h < 2R nên \({V_{S. ABC}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(h. H.(2R-h)\) lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\). Khi đó
\({a^2} = 3h(2R - h) = 4R(2R - {{4R} \over 3}) = {{8{R^2}} \over 3},\) tức là \(a = {{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)
Dễ thấy trong trường hợp này, SABC là tứ diện đều có cạnh bằng \({{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)
\(\bullet \) Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnh a.
Ta cũng có \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), trong đó SA là một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó \(R = {{{a^2} + 4{h^2}{{\sin }^2}{\pi \over n}} \over {8h{{\sin }^2}{\pi \over n}}},\) suy ra \({a^2} = 4h(2R - h){\sin ^2}{\pi \over n}\)
Gọi S là diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì \(S = {{n{a^2}} \over 4}\cot {\pi \over n}.\)
Khi ấy, thể tích V của khối chóp bằng
\(\eqalign{ V &= {{n{a^2}} \over {12}}\cot {\pi \over n}. H \cr & = {n \over {12}}\cot {\pi \over n}. H. 4hsi{n^2}{\pi \over n}.(2R - h) \cr & = {n \over 3}\cot {\pi \over n}si{n^2}{\pi \over n}. H. H(2R - h) \cr & = {n \over 6}\cot {\pi \over n}si{n^2}{\pi \over n}. H. H(4R - 2h). \cr} \)
Vậy V lớn nhất khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\) và từ đó
\({a^2} = {\sin ^2}{\pi \over n}.{{16R} \over 3}(2R - {{4R} \over 3}) = {\sin ^2}{\pi \over n}.{{32{R^2}} \over 9},\)
Tức là \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}.\sin {\pi \over n}.\)
Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao \(h = {{4R} \over 3}\) và cạnh đáy \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}\sin {\pi \over n}\) có thể tích lớn nhất.
Dễ thấy \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h thì
\(\eqalign{ & R = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}} (1) \cr & {V_{S. ABC}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}. H (2) \cr} \)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\eqalign{ {V_{S. ABC}} &= {{\sqrt 3 } \over {12}}h\left( {6Rh - 3{h^2}} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over {12}}h. 3h\left({2R - h} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over 4}h. H\left({2R - h} \right). \cr} \)
Mặt khác h < 2R nên \({V_{S. ABC}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(h. H.(2R-h)\) lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\). Khi đó
\({a^2} = 3h(2R - h) = 4R(2R - {{4R} \over 3}) = {{8{R^2}} \over 3},\) tức là \(a = {{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)
Dễ thấy trong trường hợp này, SABC là tứ diện đều có cạnh bằng \({{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)
\(\bullet \) Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnh a.
Ta cũng có \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), trong đó SA là một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó \(R = {{{a^2} + 4{h^2}{{\sin }^2}{\pi \over n}} \over {8h{{\sin }^2}{\pi \over n}}},\) suy ra \({a^2} = 4h(2R - h){\sin ^2}{\pi \over n}\)
Gọi S là diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì \(S = {{n{a^2}} \over 4}\cot {\pi \over n}.\)
Khi ấy, thể tích V của khối chóp bằng
\(\eqalign{ V &= {{n{a^2}} \over {12}}\cot {\pi \over n}. H \cr & = {n \over {12}}\cot {\pi \over n}. H. 4hsi{n^2}{\pi \over n}.(2R - h) \cr & = {n \over 3}\cot {\pi \over n}si{n^2}{\pi \over n}. H. H(2R - h) \cr & = {n \over 6}\cot {\pi \over n}si{n^2}{\pi \over n}. H. H(4R - 2h). \cr} \)
Vậy V lớn nhất khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\) và từ đó
\({a^2} = {\sin ^2}{\pi \over n}.{{16R} \over 3}(2R - {{4R} \over 3}) = {\sin ^2}{\pi \over n}.{{32{R^2}} \over 9},\)
Tức là \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}.\sin {\pi \over n}.\)
Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao \(h = {{4R} \over 3}\) và cạnh đáy \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}\sin {\pi \over n}\) có thể tích lớn nhất.