Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng qua cạnh BC và vuông góc với mp(ABC). Gọi (C) là đường tròn đường kính BC trong mp(P) và S là điểm bất kì thuộc (C). Khi S thay đổi trên (C), chứng minh rằng :
Lời giải chi tiết:
Vì \(\widehat {BSC} = \) \({90^ \circ }\) nên \(S{B^2} + S{C^2} = B{C^2} = {a^2}.\)
Gọi H là trung điểm của BC thì
\(SH = {1 \over 2}BC = {a \over 2}\) và \(AH \bot BC.\)
Mặt khác, \(\left( P \right) \bot mp\left({ABC} \right)\) và cắt mặt phẳng này theo giao tuyến BC nên \(AH \bot (P).\)
Từ đó \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{3{a^2}} \over 4} = {a^2}.\)
Vậy \(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)
Lời giải chi tiết:
Vì HB = HC = HS, \(AH \bot mp(SBC)\) nên đường thẳng AH là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\).
Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC thuộc AH. Mặt khác, ABC là tam giác đều nên tâm mặt cầu đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Điều ấy khẳng định rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là cố định.
Câu a
\(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}\) không đổiLời giải chi tiết:
Vì \(\widehat {BSC} = \) \({90^ \circ }\) nên \(S{B^2} + S{C^2} = B{C^2} = {a^2}.\)
Gọi H là trung điểm của BC thì
\(SH = {1 \over 2}BC = {a \over 2}\) và \(AH \bot BC.\)
Mặt khác, \(\left( P \right) \bot mp\left({ABC} \right)\) và cắt mặt phẳng này theo giao tuyến BC nên \(AH \bot (P).\)
Từ đó \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{3{a^2}} \over 4} = {a^2}.\)
Vậy \(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)
Câu b
Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là điểm cố định (nếu S khác B, C).Lời giải chi tiết:
Vì HB = HC = HS, \(AH \bot mp(SBC)\) nên đường thẳng AH là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\).
Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC thuộc AH. Mặt khác, ABC là tam giác đều nên tâm mặt cầu đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Điều ấy khẳng định rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là cố định.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!