Bài 3 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kì trên \(\Delta \), S khác A.

Câu 1​

Khi SA=h (h cho trước), hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) thì \(G \in d\) và \(d//\Delta \).
Trong \(mp(\Delta, d),\) đường trung trực của SA cắt d tại điểm I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và R=IA là bán kính của mặt cầu đó.
Dễ thấy \(GI = {1 \over 2}SA = {h \over 2}, AG = {{a\sqrt 3 } \over 3},\) từ đó \(I{A^2} = {{{h^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 3} = {1 \over {12}}(4{a^2} + 3{h^2}).\)
Vậy mặt cầu đó có diện tích là
\(S = {\pi \over 3}(4{a^2} + 3{h^2})\)
Và thể tích là
\(V = {4 \over 3}\pi .{\left( {{{\sqrt {4{a^2} + 3{h^2}} } \over {2\sqrt 3 }}} \right)^3} = {\pi \over {18\sqrt 3 }}{(\sqrt {4{a^2} + 3{h^2}})^3}.\)

Câu 2​

Gọi A’ là điểm đối xứng với điểm A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng khi S thay đổi \(\Delta \) thì A’ thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải chi tiết:
Khi S thay đổi trên đường thẳng \(\Delta \) thì tâm \(I\) của mặt cầu ấy thay đổi trên đường thẳng d.
Mặt khác \(\overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AI} ,\) vậy A’ thuộc đường thẳng \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) và qua điểm \({A_1}\) sao cho \(\overrightarrow {A{A_1}} = 2\overrightarrow {AG} ,\) tức là A’ thuộc đường thẳng cố định \(\Delta '.\)