Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều chiều cao là $h$ nội tiếp trong một mặt cầu bán kính $R$. Tìm $h$ theo $R$ để thể tích khối chóp là lớn nhất.
A. $h=\sqrt{2}R$.
B. $h=\dfrac{4R}{3}$.
C. $h=\dfrac{3R}{2}$.
D. $h=\sqrt{3}R$.
Gọi $I$ là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp $\Rightarrow I\in SO;IS=IA=IB=IC=ID=R$.
Đặt $BC=x\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}h{{x}^{2}}$.
Ta có $AC=\sqrt{2}x\Rightarrow OC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$. Xét tam giác vuông $SOC$ ta có: $O{{I}^{2}}+O{{C}^{2}}=I{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{(h-R)}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4Rh-2{{h}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{2}{3}h(2Rh-{{h}^{2}})$.
Vì ${{x}^{2}}=4Rh-2{{h}^{2}}\ge 0\Rightarrow 0<h\le 2R$
Ta có ${V}'=\dfrac{8}{3}Rh-2{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h={{0}^{{}}}\left( \text{lo }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ i} \right) \\
& h=\dfrac{4}{3}{{R}^{{}}}\left( \text{th }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!{{\text{a}}^{{}}}\text{m }\!\!\cdot\!\!\text{ n} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Lập BBT ta thấy thể tích khối chóp là lớn nhất khi $h=\dfrac{4R}{3}$.
A. $h=\sqrt{2}R$.
B. $h=\dfrac{4R}{3}$.
C. $h=\dfrac{3R}{2}$.
D. $h=\sqrt{3}R$.
Gọi $I$ là tâm cầu ngoại tiếp hình chóp $\Rightarrow I\in SO;IS=IA=IB=IC=ID=R$.
Đặt $BC=x\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}h{{x}^{2}}$.
Ta có $AC=\sqrt{2}x\Rightarrow OC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$. Xét tam giác vuông $SOC$ ta có: $O{{I}^{2}}+O{{C}^{2}}=I{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{(h-R)}^{2}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4Rh-2{{h}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{2}{3}h(2Rh-{{h}^{2}})$.
Vì ${{x}^{2}}=4Rh-2{{h}^{2}}\ge 0\Rightarrow 0<h\le 2R$
Ta có ${V}'=\dfrac{8}{3}Rh-2{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h={{0}^{{}}}\left( \text{lo }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ i} \right) \\
& h=\dfrac{4}{3}{{R}^{{}}}\left( \text{th }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!{{\text{a}}^{{}}}\text{m }\!\!\cdot\!\!\text{ n} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Lập BBT ta thấy thể tích khối chóp là lớn nhất khi $h=\dfrac{4R}{3}$.
Đáp án B.