Google
Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD} = {15^0}\).
a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho \(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.
a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho \(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.
b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.
Phương pháp giải
Vận dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau và tính chất về các cạnh và góc của hình vuông.
Lời giải chi tiết
a. Xét \(∆ EDC\) và \(∆ FDA :\)
\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)
\(DC = AD\) (do ABCD là hình vuông)
\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)
Do đó: \(∆ EDC = ∆ FDA\) (g.c.g)
\(⇒ DE = DF\)
\(⇒ ∆ DEF\) cân tại D
Ta lại có:
\( \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC} \)\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \)\( = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \)
Vậy \(∆ DEF\) đều.
b. Vì \(\widehat {ECD} = {15^0}\) và \(\widehat {DCB} = {90^0}\) nên \(\widehat {ECB} = 90^0-{15^0}=75^0\)
Vì \(\widehat {FDA} = {15^0}\) và \(\widehat {FDE} = {60^0}\) (do tam giác FDE đều) nên \(\widehat {EDA} = 60^0+{15^0}=75^0\)
Xét \(∆ ADE\) và \(∆ BCE:\)
\(ED = EC\) (vì \(∆ EDC\) cân tại E)
\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)
\(AD = BC\) (do ABCD là hình vuông)
Do đó: \(∆ ADE = ∆ BCE\) (c.g.c)
\(⇒ AE = BE\) (1)
Trong \(∆ AFD\) ta có:
\(\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \)\(= {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0} \)
\( \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0} \)\( \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \)\( = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) \)\(= {150^0} \)
Xét \(∆ AFD\) và \(∆ AEF:\)
\(AF\) cạnh chung
\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)
\(DF = EF\) (vì \(∆ DFE\) đều)
Do đó: \(∆ AFD = ∆ AEF\) (c.g.c)
\(⇒ AE = AD\)
\(AD = AB\) (do ABCD là hình vuông)
Suy ra: \(AE = AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AE = AB = BE.\)
Vậy \(∆ AEB\) đều.
Vận dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau và tính chất về các cạnh và góc của hình vuông.
Lời giải chi tiết
a. Xét \(∆ EDC\) và \(∆ FDA :\)
\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)
\(DC = AD\) (do ABCD là hình vuông)
\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)
Do đó: \(∆ EDC = ∆ FDA\) (g.c.g)
\(⇒ DE = DF\)
\(⇒ ∆ DEF\) cân tại D
Ta lại có:
\( \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC} \)\( \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \)\( = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \)
Vậy \(∆ DEF\) đều.
b. Vì \(\widehat {ECD} = {15^0}\) và \(\widehat {DCB} = {90^0}\) nên \(\widehat {ECB} = 90^0-{15^0}=75^0\)
Vì \(\widehat {FDA} = {15^0}\) và \(\widehat {FDE} = {60^0}\) (do tam giác FDE đều) nên \(\widehat {EDA} = 60^0+{15^0}=75^0\)
Xét \(∆ ADE\) và \(∆ BCE:\)
\(ED = EC\) (vì \(∆ EDC\) cân tại E)
\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)
\(AD = BC\) (do ABCD là hình vuông)
Do đó: \(∆ ADE = ∆ BCE\) (c.g.c)
\(⇒ AE = BE\) (1)
Trong \(∆ AFD\) ta có:
\(\widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \)\(= {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0} \)
\( \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0} \)\( \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \)\( = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) \)\(= {150^0} \)
Xét \(∆ AFD\) và \(∆ AEF:\)
\(AF\) cạnh chung
\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)
\(DF = EF\) (vì \(∆ DFE\) đều)
Do đó: \(∆ AFD = ∆ AEF\) (c.g.c)
\(⇒ AE = AD\)
\(AD = AB\) (do ABCD là hình vuông)
Suy ra: \(AE = AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AE = AB = BE.\)
Vậy \(∆ AEB\) đều.