Google
Câu hỏi: Cho hình vuông \(ABCD,\) điểm \(E\) thuộc cạnh \(CD.\) Tia phân giác của góc \(ABE\) cắt \(AD\) ở \(K.\) Chứng minh rằng \(AK + CE = BE.\)
Phương pháp giải
Vận dụng tính chất hình vuông và kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Lời giải chi tiết
Trên tia đối tia \(CD\) lấy điểm \(M\) sao cho \(CM = AK\)
Ta có:
\(AK + CE = CM + CE = EM\) (*)
Xét \(∆ ABK\) và \(∆ CBM:\)
\(AB = CB\) (gt)
\(\widehat A = \widehat C = {90^0}\)
\(AK = CM\) (theo cách vẽ)
Do đó: \(∆ ABK = ∆ CBM (c.g.c)\)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (1)
\(\widehat {KBC} = {90^0} - {\widehat B_1}\) (2)
Trong tam giác \(CBM\) vuông tại \(C.\)
\(\widehat M = {90^0} - {\widehat B_4}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {KBC} = \widehat M\) (4)
\(\widehat {KBC} = {\widehat B_2} + {\widehat B_3}\) mà \({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (do BK là tia phân giác của ABE)
\({\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (chứng minh trên)
Suy ra: \({\widehat B_2} = {\widehat B_4} \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = {\widehat B_3} + {\widehat B_4}\) hay \(\widehat {KBC} = \widehat {EBM}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {EBM} = \widehat M\)
\(⇒ ∆ EBM\) cân tại \(E\) \(⇒ EM = BE\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(AK + CE = BE.\)
Vận dụng tính chất hình vuông và kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Lời giải chi tiết
Trên tia đối tia \(CD\) lấy điểm \(M\) sao cho \(CM = AK\)
Ta có:
\(AK + CE = CM + CE = EM\) (*)
Xét \(∆ ABK\) và \(∆ CBM:\)
\(AB = CB\) (gt)
\(\widehat A = \widehat C = {90^0}\)
\(AK = CM\) (theo cách vẽ)
Do đó: \(∆ ABK = ∆ CBM (c.g.c)\)
\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (1)
\(\widehat {KBC} = {90^0} - {\widehat B_1}\) (2)
Trong tam giác \(CBM\) vuông tại \(C.\)
\(\widehat M = {90^0} - {\widehat B_4}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {KBC} = \widehat M\) (4)
\(\widehat {KBC} = {\widehat B_2} + {\widehat B_3}\) mà \({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (do BK là tia phân giác của ABE)
\({\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (chứng minh trên)
Suy ra: \({\widehat B_2} = {\widehat B_4} \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = {\widehat B_3} + {\widehat B_4}\) hay \(\widehat {KBC} = \widehat {EBM}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {EBM} = \widehat M\)
\(⇒ ∆ EBM\) cân tại \(E\) \(⇒ EM = BE\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(AK + CE = BE.\)