Google
Câu hỏi: Cho hình vuông \(ABCD.\) Trên cạnh \(DC\) lấy điểm \(E,\) trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(F\) sao cho \(DE = CF.\) Chứng minh rằng \(AE = DF\) và \(AE ⊥ DF.\)
Phương pháp giải
- Chứng minh hai tam giác \(ADE\) và \(DCF\) bằng nhau.
- Vận dụng tính chất về các góc trong hình vuông.
Lời giải chi tiết
Xét \(∆ ADE\) và \(∆ DCF:\)
\(AD = DC\) (vì \(ABCD\) là hình vuông)
\(\widehat D = \widehat C = {90^0}\)
\(DE = CF\) (gt)
Do đó: \(∆ ADE = ∆ DCF (c.g.c)\)
\(⇒ AE = DF\)
\(\widehat {EAD} = \widehat {FDC}\)
\(\widehat {EAD} + \widehat {DEA} = {90^0}\) (vì ∆ \(ADE\) vuông tại \(A\))
\( \Rightarrow \widehat {FDC} + \widehat {DEA} = {90^0}\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF.\)
Suy ra: \(\widehat {IDE} + \widehat {DEI} = {90^0}\)
Trong \(∆ DEI\) ta có: \(\widehat {DIE} = {180^0} - \left( {\widehat {IDE} + \widehat {DEI}} \right)\)\(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\)
Suy ra: \(AE ⊥ DF\)
- Chứng minh hai tam giác \(ADE\) và \(DCF\) bằng nhau.
- Vận dụng tính chất về các góc trong hình vuông.
Lời giải chi tiết
Xét \(∆ ADE\) và \(∆ DCF:\)
\(AD = DC\) (vì \(ABCD\) là hình vuông)
\(\widehat D = \widehat C = {90^0}\)
\(DE = CF\) (gt)
Do đó: \(∆ ADE = ∆ DCF (c.g.c)\)
\(⇒ AE = DF\)
\(\widehat {EAD} = \widehat {FDC}\)
\(\widehat {EAD} + \widehat {DEA} = {90^0}\) (vì ∆ \(ADE\) vuông tại \(A\))
\( \Rightarrow \widehat {FDC} + \widehat {DEA} = {90^0}\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF.\)
Suy ra: \(\widehat {IDE} + \widehat {DEI} = {90^0}\)
Trong \(∆ DEI\) ta có: \(\widehat {DIE} = {180^0} - \left( {\widehat {IDE} + \widehat {DEI}} \right)\)\(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\)
Suy ra: \(AE ⊥ DF\)