Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.
a. Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH.
b. Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì ? Vì sao ?
a. Chứng minh rằng EC = BH, EC ⊥ BH.
b. Gọi M, N theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH. Gọi I là trung điểm của BC. Tam giác MIN là tam giác gì ? Vì sao ?
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức về tính chất hình vuông và tính chất đường trung bình của một tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: \(\widehat {BAH} = \widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
\(\widehat {EAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
Suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {EAC}\)
- Xét ∆ BAH và ∆ EAC:
BA = EA (vì ABDE là hình vuông)
\(\widehat {BAH} = \widehat {EAC}\) (chứng minh trên)
AH = AC (vì ACFH là hình vuông)
Do đó: \(∆ BAH = ∆ EAC\) (c.g.c)
⇒ BH = EC
Gọi giao điểm của EC với AB và BH lần lượt là K và O.
\(\widehat {AEC} = \widehat {ABH}\) (vì \(∆ BAH = ∆ EAC)\) (1)
hay \(\widehat {AEK} = \widehat {OBK}\)
- Trong ∆ AEK ta có: \(\widehat {EAK} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {AEK} + \widehat {AKE} = {90^0}\) (2)
\(\widehat {AKE} = \widehat {OKB}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {OKB} + \widehat {OBK} = {90^0}\)
- Trong ∆ BOK ta có: \(\widehat {BOK} + \widehat {OKB} + \widehat {OBK} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOK} = {180^0} - \left( {\widehat {OKB} + \widehat {OBK}} \right)\)\( = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)
Suy ra: EC ⊥ BH
b. Trong ∆ EBC ta có:
M là trung điểm của EB (tính chất hình vuông)
I là trung điểm của BC (gt)
nên MI là đường trung bình của tam giác EBC
⇒ MI = \(\displaystyle {1 \over 2}\)EC và MI // EC (tính chất đường trung bình của tam giác)
- Trong ∆ BCH ta có:
I là trung điểm của BC (gt)
N là trung điểm của CH (tính chất hình vuông)
nên NI là đường trung bình của ∆ BCH
⇒ NI = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BH và NI // BH (tính chất đường trung bình của tam giác)
BH = CE (chứng minh trên)
Suy ra: MI = NI nên ∆ INM cân tại I
MI // EC (chứng minh trên)
EC ⊥ BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ BH
Mà NI // BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ NI hay \(\widehat {MIN} = {90^0}\)
Vậy ∆ IMN vuông cân tại I.
Vận dụng kiến thức về tính chất hình vuông và tính chất đường trung bình của một tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: \(\widehat {BAH} = \widehat {BAC} + \widehat {CAH} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
\(\widehat {EAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAE} = \widehat {BAC} + {90^0}\)
Suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {EAC}\)
- Xét ∆ BAH và ∆ EAC:
BA = EA (vì ABDE là hình vuông)
\(\widehat {BAH} = \widehat {EAC}\) (chứng minh trên)
AH = AC (vì ACFH là hình vuông)
Do đó: \(∆ BAH = ∆ EAC\) (c.g.c)
⇒ BH = EC
Gọi giao điểm của EC với AB và BH lần lượt là K và O.
\(\widehat {AEC} = \widehat {ABH}\) (vì \(∆ BAH = ∆ EAC)\) (1)
hay \(\widehat {AEK} = \widehat {OBK}\)
- Trong ∆ AEK ta có: \(\widehat {EAK} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {AEK} + \widehat {AKE} = {90^0}\) (2)
\(\widehat {AKE} = \widehat {OKB}\) (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {OKB} + \widehat {OBK} = {90^0}\)
- Trong ∆ BOK ta có: \(\widehat {BOK} + \widehat {OKB} + \widehat {OBK} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {BOK} = {180^0} - \left( {\widehat {OKB} + \widehat {OBK}} \right)\)\( = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)
Suy ra: EC ⊥ BH
b. Trong ∆ EBC ta có:
M là trung điểm của EB (tính chất hình vuông)
I là trung điểm của BC (gt)
nên MI là đường trung bình của tam giác EBC
⇒ MI = \(\displaystyle {1 \over 2}\)EC và MI // EC (tính chất đường trung bình của tam giác)
- Trong ∆ BCH ta có:
I là trung điểm của BC (gt)
N là trung điểm của CH (tính chất hình vuông)
nên NI là đường trung bình của ∆ BCH
⇒ NI = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BH và NI // BH (tính chất đường trung bình của tam giác)
BH = CE (chứng minh trên)
Suy ra: MI = NI nên ∆ INM cân tại I
MI // EC (chứng minh trên)
EC ⊥ BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ BH
Mà NI // BH (chứng minh trên)
Suy ra: MI ⊥ NI hay \(\widehat {MIN} = {90^0}\)
Vậy ∆ IMN vuông cân tại I.