Google
Câu hỏi: Cho hình thoi \(ABCD,\) \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh \(O\) cắt các cạnh \(AB, BC, CD, DA\) theo thứ tự ở \(E, F, G, H.\) Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {COD}\) đối đỉnh nên \(E, O, G\) thẳng hàng
\(\widehat {BOC}\) và \(\widehat {AOD}\) đối đỉnh nên \(F, O, H\) thẳng hàng
Xét \(∆ BEO\) và \(∆ BFO:\)
\(\widehat {EBO} = \widehat {FBO}\) (tính chất hình thoi)
\(OB\) cạnh chung
\(\widehat {EOB} = \widehat {FOB} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)
Do đó: \(∆ BEO = ∆ BFO (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OF\) (1)
Xét \(∆ BEO\) và \(∆ DGO:\)
\(\widehat {EBO} = \widehat {GDO}\) (so le trong)
\(OB = OD\) (tính chất hình thoi)
\(\widehat {EOB} = \widehat {GOD}\) (đối đỉnh)
Do đó: \(∆ BEO = ∆ DGO (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OG\) (2)
Xét \(∆ AEO\) và \(∆ AHO:\)
\(\widehat {EAO} = \widehat {HAO}\) (tính chất hình thoi)
\(OA\) cạnh chung
\(\widehat {EOA} = \widehat {HOA} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)
Do đó: \(∆ AEO = ∆ AHO (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OH\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(OE = OF = OG = OH\) hay \(EG = FH\)
nên tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)
Lại có OE và OF là hai tia phân giác của hai góc kề bù \(\widehat {AOB},\widehat {BOC}\) nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)
hay \(EG ⊥ FH\)
Vậy hình chữ nhật \(EFGH\) là hình vuông.
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {COD}\) đối đỉnh nên \(E, O, G\) thẳng hàng
\(\widehat {BOC}\) và \(\widehat {AOD}\) đối đỉnh nên \(F, O, H\) thẳng hàng
Xét \(∆ BEO\) và \(∆ BFO:\)
\(\widehat {EBO} = \widehat {FBO}\) (tính chất hình thoi)
\(OB\) cạnh chung
\(\widehat {EOB} = \widehat {FOB} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)
Do đó: \(∆ BEO = ∆ BFO (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OF\) (1)
Xét \(∆ BEO\) và \(∆ DGO:\)
\(\widehat {EBO} = \widehat {GDO}\) (so le trong)
\(OB = OD\) (tính chất hình thoi)
\(\widehat {EOB} = \widehat {GOD}\) (đối đỉnh)
Do đó: \(∆ BEO = ∆ DGO (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OG\) (2)
Xét \(∆ AEO\) và \(∆ AHO:\)
\(\widehat {EAO} = \widehat {HAO}\) (tính chất hình thoi)
\(OA\) cạnh chung
\(\widehat {EOA} = \widehat {HOA} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)
Do đó: \(∆ AEO = ∆ AHO (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OH\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(OE = OF = OG = OH\) hay \(EG = FH\)
nên tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)
Lại có OE và OF là hai tia phân giác của hai góc kề bù \(\widehat {AOB},\widehat {BOC}\) nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)
hay \(EG ⊥ FH\)
Vậy hình chữ nhật \(EFGH\) là hình vuông.