Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành \(ABCD,\) các đường chéo cắt nhau ở \(O.\) Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác \(AOB, BOC, COD, DOA.\) Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình thoi.
Phương pháp giải
Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {EOB} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (gt)
\(\widehat {COG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COD}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {EOB} = \widehat {COG}\)
\(\widehat {EOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COG} \)\(= 2\widehat {EOB} + \widehat {BOC}\)
mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) (kề bù)
hay \(2\widehat {EOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\)
Suy ra: \(E, O, G\) thẳng hàng
Ta lại có: \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {HOD} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOD}\) (gt)
\(\widehat {FOC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOC}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {HOD} = \widehat {FOC}\)
\(\widehat {HOD} + \widehat {COD} + \widehat {FOC}\)\( = 2\widehat {HOD} + \widehat {COD}\)
mà \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) (kề bù)
hay \(2\widehat {HOD} + \widehat {COD} = {180^0}\)
Suy ra: \(H, O, F\) thẳng hàng
\(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\) (so le trong)
\(\widehat {HDO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ADO}\) (gt)
\(\widehat {FBO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {CBO}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\)
- Xét \(∆ BFO\) và \(∆ DHO:\)
\(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) (chứng minh trên)
\(OD = OB\) (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {HOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh)
Do đó: \(∆ BFO = ∆ DHO (g.c.g)\)
\(⇒ OF = OH\)
\(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) (so le trong)
\(\widehat {OAE} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OAB}\) (gt)
\(\widehat {OCG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OCD}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\)
- Xét \(∆ OAE\) và \(∆ OCG:\)
\(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) (chứng minh trên)
\(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {EOA} = \widehat {GOC}\) (đối đỉnh)
Do đó: \(∆ OAE = ∆ OCG (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OG\)
Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Ta có OE là tia phân giác góc AOB và OF là tia phân giác góc BOC
Mà hai góc AOB và BOC kề bù
Nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)
hay \(EG ⊥ FH\)
Vậy: Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {EOB} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (gt)
\(\widehat {COG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COD}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {EOB} = \widehat {COG}\)
\(\widehat {EOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COG} \)\(= 2\widehat {EOB} + \widehat {BOC}\)
mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) (kề bù)
hay \(2\widehat {EOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\)
Suy ra: \(E, O, G\) thẳng hàng
Ta lại có: \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh)
\(\widehat {HOD} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOD}\) (gt)
\(\widehat {FOC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOC}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {HOD} = \widehat {FOC}\)
\(\widehat {HOD} + \widehat {COD} + \widehat {FOC}\)\( = 2\widehat {HOD} + \widehat {COD}\)
mà \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) (kề bù)
hay \(2\widehat {HOD} + \widehat {COD} = {180^0}\)
Suy ra: \(H, O, F\) thẳng hàng
\(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\) (so le trong)
\(\widehat {HDO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ADO}\) (gt)
\(\widehat {FBO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {CBO}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\)
- Xét \(∆ BFO\) và \(∆ DHO:\)
\(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) (chứng minh trên)
\(OD = OB\) (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {HOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh)
Do đó: \(∆ BFO = ∆ DHO (g.c.g)\)
\(⇒ OF = OH\)
\(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) (so le trong)
\(\widehat {OAE} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OAB}\) (gt)
\(\widehat {OCG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OCD}\) (gt)
Suy ra: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\)
- Xét \(∆ OAE\) và \(∆ OCG:\)
\(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) (chứng minh trên)
\(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {EOA} = \widehat {GOC}\) (đối đỉnh)
Do đó: \(∆ OAE = ∆ OCG (g.c.g)\)
\(⇒ OE = OG\)
Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Ta có OE là tia phân giác góc AOB và OF là tia phân giác góc BOC
Mà hai góc AOB và BOC kề bù
Nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)
hay \(EG ⊥ FH\)
Vậy: Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.