Google
Câu hỏi: Cho hình thang cân \(ABCD\) \((AB // CD).\) Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA.\) Tứ giác \(EFGH\) là hình gì ?
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có cặp cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Trong \(∆ ABD\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\(H\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
nên \(EH\) là đường trung bình của \(∆ ABD\)
\(⇒ EH // BD\) và \(EH = \displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Trong \(∆ CBD\) ta có:
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
\(G\) là trung điểm của \(CD\) (gt)
nên \(FG\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ FG // BD\) và \(FG = \displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EH // FG\) và \(EH = FG\)
Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Trong \(∆ ABC\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
Nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ EF = \displaystyle {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra: \(EH = EF\)
Vậy : Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có cặp cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Trong \(∆ ABD\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\(H\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
nên \(EH\) là đường trung bình của \(∆ ABD\)
\(⇒ EH // BD\) và \(EH = \displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
- Trong \(∆ CBD\) ta có:
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
\(G\) là trung điểm của \(CD\) (gt)
nên \(FG\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ FG // BD\) và \(FG = \displaystyle {1 \over 2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EH // FG\) và \(EH = FG\)
Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Trong \(∆ ABC\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
Nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ EF = \displaystyle {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân) (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra: \(EH = EF\)
Vậy : Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.