Bài 145 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

Phương pháp giải
Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi và hình vuông đã học, xác định tứ giác \(EKPQ\) là hình gì.
Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết

Ta có \(AB = BC = CD = DA\) (do ABCD là hình chữ nhật)
Mà \(AE = BK = CP = DQ\) (gt)
Nên \(AB - AE = BC - BK\)\( = CD - CP = DA - DQ\)
Suy ra: \(EB = KC = PD = QA\)
- Xét \(∆ AEQ\) và \(∆ BKE :\)
\(AE = BK\) (gt)
\(\widehat A = \widehat B = {90^0}\)
\(QA = EB\) (chứng minh trên)
Do đó: \(∆ AEQ = ∆ BKE (c.g.c)\) \(⇒ EK = EQ\) (1)
- Xét \(∆ BKE\) và \(∆ CPK :\)
\(BK = CP\) (gt)
\(\widehat B = \widehat C = {90^0}\)
\(EB = KC\) (chứng minh trên)
Do đó: \(∆ BKE = ∆ CPK (c.g.c)\) \(⇒ EK = KP\) (2)
Xét \(∆ CPK\) và \(∆ DQP :\)
\(CP = DQ\) (gt)
\(\widehat C = \widehat D = {90^0}\)
\(DP = CK\) (chứng minh trên)
Do đó: \(∆ CPK = ∆ DQP (c.g.c)\) \(⇒ KP = PQ\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(EK = KP = PQ = EQ\)
Tứ giác \(EKPQ\) là hình thoi.
Mặt khác, do \(∆ AEQ = ∆ BKE \) (chứng minh trên) nên \(\widehat {BEK} = \widehat {EQA}\)
Xét tam giác EAQ vuông tại A, ta có \(\widehat {QEA} + \widehat {EQA} = {90^0}\)
Nên \(\widehat {QEA} + \widehat {KEB} = {90^0}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {QEA} + \widehat {QEK} + \widehat {KEB} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {QEK} = {180^0} - \left( {\widehat {QEA} + \widehat {KEB}} \right)\\
\Rightarrow \widehat {QEK} = {180^0} - {90^0} = {90^0}
\end{array}\)
Từ đó hình thoi \(EKPQ\) có 1 góc vuông nên \(EKPQ\) là hình vuông.