Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), kẻ \(BH \bot AC\). Gọi \(D\) là một điểm thuộc cạnh đáy \(BC.\) Kẻ \({\rm{D}}E \bot AC,DF \bot AB\). Chứng minh rằng \(DE + DF = BH.\)
Phương pháp giải
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Kẻ \({\rm{DK}} \bot {\rm{BH}}\)
\(BH \bot AC \left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow DK // AC\) (vì cùng vuông góc với \(BH\))
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)
Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat B\)
Xét hai tam giác vuông \(BFD\) và \(DKB\) có:
\(\widehat {BF{\rm{D}}} = \widehat {DKB} = 90^\circ \)
\(BD\) cạnh chung
\(\widehat {FB{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}B}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆BFD = ∆DKB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow DF = BK \) (hai cạnh tương ứng) (1)
Nối \(DH.\)
Vì \(DK//AC\) nên \(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (hai góc so le trong)
Xét \(∆DEH\) và \(∆HKD\) có:
\(\widehat {DEH} = \widehat {HKD} = 90^\circ \)
\(DH\) cạnh chung
\(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆DEH = ∆HKD\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow DE = HK\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: \(BH = BK + HK\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \( DF + DE = BH\).
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ có $A B=A C$ $B H \perp A C$ $D \in B C, D E \perp A C, D F \perp A B$ |
| KL | $D E+D F=B H$ |
Kẻ \({\rm{DK}} \bot {\rm{BH}}\)
\(BH \bot AC \left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow DK // AC\) (vì cùng vuông góc với \(BH\))
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)
Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat B\)
Xét hai tam giác vuông \(BFD\) và \(DKB\) có:
\(\widehat {BF{\rm{D}}} = \widehat {DKB} = 90^\circ \)
\(BD\) cạnh chung
\(\widehat {FB{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}B}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆BFD = ∆DKB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow DF = BK \) (hai cạnh tương ứng) (1)
Nối \(DH.\)
Vì \(DK//AC\) nên \(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (hai góc so le trong)
Xét \(∆DEH\) và \(∆HKD\) có:
\(\widehat {DEH} = \widehat {HKD} = 90^\circ \)
\(DH\) cạnh chung
\(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆DEH = ∆HKD\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow DE = HK\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: \(BH = BK + HK\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \( DF + DE = BH\).