Google
Câu hỏi: Tìm các tam giác cân trên hình 71.
Phương pháp giải
- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
- Tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^o\).
- Tam giác cân có số đo góc ở đỉnh bằng \(a^o\) thì số đo góc ở đáy là \(\dfrac{{{{180}^o} - {a^o}}}{2}\)
- Tam giác cân có số đo góc ở đáy bằng \(m^o\) thì số đo góc ở đỉnh là \({180^o} - 2.{m^o}\).
Lời giải chi tiết
* Vì \(AB = AC\) (gt) nên \(∆ABC\) cân tại \(A.\)
Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} \) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} +\widehat {BAC}=180^0\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {{180^\circ - \widehat {BAC}} \over 2} \)\( \displaystyle = {{180^\circ - 36^\circ } \over 2} = 72^\circ \)
Lại có: \(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 36^\circ + 36^\circ \)\( = 72^\circ \)
\(\Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {ABE}=72^o\)
\(\Rightarrow ∆ABE\) cân tại \(E\).
* Xét tam giác \(ACE\) có \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C nên:
\(\widehat E +\widehat {CAE}= \widehat {ACB} \)
\(\Rightarrow \widehat {E} = \widehat {ACB}-\widehat {CAE}\)\(=72^0- 36^\circ=36^0 \)
Do đó \(\widehat {CA{\rm{E}}} = \widehat E=36^o\) nên \(∆ACE\) cân tại \(C.\)
* Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(∆DAC\), ta có:
\({\widehat D + \widehat {AC{\rm{D}}}}+\widehat {DAC} = 180^\circ \)
\(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat {AC{\rm{D}}}} \right) \)\( = 180^\circ - \left( {36^\circ + 72^\circ } \right) = 72^\circ \)
Vì \(\widehat {DAC} = \widehat {AC{\rm{D}}}=72^o\) nên \(∆DAC\) cân tại \(D\).
* Ta có: \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} \)
\(\Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC} - \widehat {BAC}\)\( = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat D=36^o\) nên \(∆ABD\) cân tại \(B\).
* Lại có \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{ED}}} = 36^\circ \) nên \(∆ADE\) cân tại \(A\).
Vậy có \(6\) tam giác cân trong hình 71.
- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
- Tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^o\).
- Tam giác cân có số đo góc ở đỉnh bằng \(a^o\) thì số đo góc ở đáy là \(\dfrac{{{{180}^o} - {a^o}}}{2}\)
- Tam giác cân có số đo góc ở đáy bằng \(m^o\) thì số đo góc ở đỉnh là \({180^o} - 2.{m^o}\).
Lời giải chi tiết
* Vì \(AB = AC\) (gt) nên \(∆ABC\) cân tại \(A.\)
Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} \) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} +\widehat {BAC}=180^0\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {{180^\circ - \widehat {BAC}} \over 2} \)\( \displaystyle = {{180^\circ - 36^\circ } \over 2} = 72^\circ \)
Lại có: \(\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 36^\circ + 36^\circ \)\( = 72^\circ \)
\(\Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {ABE}=72^o\)
\(\Rightarrow ∆ABE\) cân tại \(E\).
* Xét tam giác \(ACE\) có \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C nên:
\(\widehat E +\widehat {CAE}= \widehat {ACB} \)
\(\Rightarrow \widehat {E} = \widehat {ACB}-\widehat {CAE}\)\(=72^0- 36^\circ=36^0 \)
Do đó \(\widehat {CA{\rm{E}}} = \widehat E=36^o\) nên \(∆ACE\) cân tại \(C.\)
* Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(∆DAC\), ta có:
\({\widehat D + \widehat {AC{\rm{D}}}}+\widehat {DAC} = 180^\circ \)
\(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat {AC{\rm{D}}}} \right) \)\( = 180^\circ - \left( {36^\circ + 72^\circ } \right) = 72^\circ \)
Vì \(\widehat {DAC} = \widehat {AC{\rm{D}}}=72^o\) nên \(∆DAC\) cân tại \(D\).
* Ta có: \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} \)
\(\Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC} - \widehat {BAC}\)\( = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat D=36^o\) nên \(∆ABD\) cân tại \(B\).
* Lại có \(\widehat {A{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{ED}}} = 36^\circ \) nên \(∆ADE\) cân tại \(A\).
Vậy có \(6\) tam giác cân trong hình 71.