Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ADE\) cân tại \(A\). Trên cạnh \(DE\) lấy các điểm \(B\) và \(C\) sao cho \(\displaystyle DB = EC <{1 \over 2}DE\)
a) Tam giác \(ABC\) là tam giác gì? Chứng minh điều đó?
b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng \(BM = CN.\)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MB\) và \(NC\). Tam giác \(IBC\) là tam giác gì? Chứng minh điều đó.
d) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)
a) Tam giác \(ABC\) là tam giác gì? Chứng minh điều đó?
b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng \(BM = CN.\)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MB\) và \(NC\). Tam giác \(IBC\) là tam giác gì? Chứng minh điều đó.
d) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)
Phương pháp giải
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:
\(AD = AE\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))
\(\widehat D = \widehat E\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))
\(DB = EC\) (gt)
\( \Rightarrow ∆ABD = ∆ACE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AB = AC\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)
b) Xét hai tam giác vuông \(BMD\) và \(CNE\) có:
\(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \)
\(BD = CE\) (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow ∆BMD = ∆CNE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow BM = CN\) (hai cạnh tương ứng).
c) \( ∆BMD = ∆CNE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng) (1)
Lại có:
\(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (hai góc đối đỉnh) (2)
\(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay \(∆IBC\) cân tại \(I.\)
d) Xét \(∆ABI\) và \(∆ACI\) có:
\(AB = AC\) (chứng minh trên)
\(IB = IC\) (vì \(∆IBC\) cân tại \(I\))
\(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ABI = ∆ACI\) (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A D E, A D=A E$ $B, C \in D E$ sao cho $D B=E C<\dfrac{1}{2} D E$ $B M \perp A D, C N \perp A E$ $M B \cap N C=\{I\}$ |
| KL | a) $\triangle A B C$ là tam giác gì? Vì sao? b) $B M=C N$ c) $\triangle I B C$ là tam giác gì? Vì sao? d) $A I$ là tia phân giác $\widehat{B A C}$ |
Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:
\(AD = AE\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))
\(\widehat D = \widehat E\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))
\(DB = EC\) (gt)
\( \Rightarrow ∆ABD = ∆ACE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AB = AC\) (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)
b) Xét hai tam giác vuông \(BMD\) và \(CNE\) có:
\(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \)
\(BD = CE\) (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (vì \(∆ADE\) cân tại \(A\))
\( \Rightarrow ∆BMD = ∆CNE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow BM = CN\) (hai cạnh tương ứng).
c) \( ∆BMD = ∆CNE\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng) (1)
Lại có:
\(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (hai góc đối đỉnh) (2)
\(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay \(∆IBC\) cân tại \(I.\)
d) Xét \(∆ABI\) và \(∆ACI\) có:
\(AB = AC\) (chứng minh trên)
\(IB = IC\) (vì \(∆IBC\) cân tại \(I\))
\(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ABI = ∆ACI\) (c.c.c)
\( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).