Google
Câu hỏi: Cho đoạn thẳng \(AB.\) Vẽ các cung tâm \(A\) và \(B\) có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại \(C\) và \(D.\) Chứng minh rằng \(CD\) là đường trung trực của \(AB.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Lời giải chi tiết
Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).
Nối \(AC, AD, BC, BD\).
Xét \(∆ACD\) và \(∆BCD\) có:
\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(AD = BD\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(CD\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ACD = ∆BCD\) (c.c.c).
\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(∆AHC\) và \(∆BHC\) có:
\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)
\(CH\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AHC = ∆BHC\) (c.g.c).
\( \Rightarrow AH = BH\) (hai cạnh tương ứng) (1) và \( \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai góc tương ứng)
Lại có: \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ\)
\( \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(CD\) là đường trung trực của \(AB.\)
Sử dụng:
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Lời giải chi tiết
| GT | Đoạn thẳng $A B$ Vẽ cung tròn tâm $A$ và tâm $B$ cùng bán kính. Hai cung tròn này cắt nhau tai $C, D$ |
| KL | $C D$ là trung trực của $A B$ |
Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).
Nối \(AC, AD, BC, BD\).
Xét \(∆ACD\) và \(∆BCD\) có:
\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(AD = BD\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(CD\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ACD = ∆BCD\) (c.c.c).
\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(∆AHC\) và \(∆BHC\) có:
\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)
\(CH\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AHC = ∆BHC\) (c.g.c).
\( \Rightarrow AH = BH\) (hai cạnh tương ứng) (1) và \( \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai góc tương ứng)
Lại có: \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ\)
\( \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(CD\) là đường trung trực của \(AB.\)