Bài 10 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai của tanx, sử dụng công thức \(\cot x = \frac{1}{{\tan x}}\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& 2\tan x - 2\cot x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\tan x - {2 \over {\tan x}} - 3 = 0 \cr
& \Rightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 2 \hfill \cr
\tan x = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị \(tanx = 2\), \(\tan x = {{ - 1} \over 2}\) ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng \(({{ - \pi } \over 2},\pi)\).
Cách khác:
\(\left[ \begin{array}{l}
\tan x = 2\\
\tan x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arctan 2 + k\pi \\
x = \arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right) + k\pi
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
+ ) - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan 2 < k\pi < \pi - \arctan 2\\
\Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\\
\Rightarrow - 0,85 < k < 0,65\\
\Rightarrow k = 0\\
\Rightarrow x = \arctan 2\\
+ ) - \frac{\pi }{2} < \arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi \\
\Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right) < k\pi < \pi - \arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\\
\Rightarrow - 0,35 < k < 1,15\\
\Rightarrow k \in \left\{ {0; 1} \right\}\\
\Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left({ - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}
\end{array}\)
Vậy có ba nghiệm cần tìm.