Google
Câu hỏi: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2 x\) là:
A. \({\pi \over 6}\)
B. \({{2\pi } \over 3}\)
C. \({\pi \over 4}\)
D. \({\pi \over 3}\)
A. \({\pi \over 6}\)
B. \({{2\pi } \over 3}\)
C. \({\pi \over 4}\)
D. \({\pi \over 3}\)
Phương pháp giải
Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x \)
\(⇔ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x\)
\(⇔ sinx(1 + 2cosx) = cos (1 + 2cosx) \)
\(⇔ (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr
\sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr
\tan x = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \(x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = - {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = - {{2\pi } \over 3} + 2\pi = {{4\pi } \over 3}\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = {\pi \over 4} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 4}\)
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = {\pi \over 4}\)
Cách khác:
Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4}, x = \frac{{2\pi }}{3}\) thỏa mãn phương trình.
Do \(\frac{\pi }{4} < \frac{{2\pi }}{3}\) nên ta chọn nghiệm \(x = \frac{\pi }{4}\).
Đưa phương trình về dạng tích, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản, sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
Sau khi tìm được các họ nghiệm, đối với mỗi họ nghiệm ta tìm nghiệm dương nhỏ nhất và chọn đáp án đúng.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x \)
\(⇔ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x\)
\(⇔ sinx(1 + 2cosx) = cos (1 + 2cosx) \)
\(⇔ (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr
\sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr
\tan x = 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \(x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = - {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = - {{2\pi } \over 3} + 2\pi = {{4\pi } \over 3}\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = {\pi \over 4} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 4}\)
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = {\pi \over 4}\)
Cách khác:
Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \frac{\pi }{4}, x = \frac{{2\pi }}{3}\) thỏa mãn phương trình.
Do \(\frac{\pi }{4} < \frac{{2\pi }}{3}\) nên ta chọn nghiệm \(x = \frac{\pi }{4}\).
Đáp án C.