Bài 1.18 trang 9 SBT Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Phát biểu và chứng minh các định lí sau:

Câu a​

\(\forall n \in N,{n^2}\) chia hết cho 3 ⇒ n chia hết cho 3 (gợi ý: Chứng minh bằng phản chứng).
Lời giải chi tiết:
“Nếu n là số tự nhiên sao cho \({n^2}\) chia hết cho 3 thì n cũng chia hết cho 3”.
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại \(n \in N\) để \({n^2}\) chia hết cho 3 nhưng n không chia hết cho 3.
Nếu \(n = 3k + 1\left( {k \in N} \right)\)  thì \({n^2} = 3k\left( {3k + 2} \right) + 1\) không chia hết cho 3.
Nếu \(n = 3k - 1\left( {k \in N^*} \right)\) thì \({n^2} = 3k\left( {3k - 2} \right) + 1\) không chia hết cho 3.

Câu b​

\(\forall n \in N,{n^2}\)  chia hết cho 6 ⇒ n chia hết cho 6.
Lời giải chi tiết:
“Nếu n là số tự nhiên sao cho \({n^2}\)  chia hết cho 6 thì n cũng chia hết cho 6”
Thật vậy nếu \({n^2}\)  chia hết cho 6 thì \({n^2}\)  là số chẵn, do đó n là số chẵn, tức là n chia hết cho 2.
Vì \({n^2}\) chia hết cho 6 nên nó chia hết cho 3.
Theo câu a điều này kéo theo n chia hết cho 3.
Vì n chia hết cho 2 và 3 nên n chia hết cho 6.