Bài 1.20 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : “\(n\) chia hết cho 5” ; \(Q(n)\) : “\({n^2}\)  chia hết cho 5” và \(R(n)\) : \({n^2} + 1\) và \({n^2} - 1\) đều không chia hết cho 5”
Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:

Câu a​

\(\forall n \in N, P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left(n \right)\)
Lời giải chi tiết:
Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là \({n^2}\) chia hết cho 5”
Chứng minh :
Nếu \(n = 5k\left( {k \in N} \right)\)  thì \({n^2} = 25{k^2}\)  chia hết cho 5.
Ngược lại, giả sử \(n = 5k + r\) với \(r = 0,1,2,3,4\). Khi đó \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\)  chia hết cho 5 nên \({r^2}\)  phải chia hết cho 5.
Thử vào với \(r = 0,1,2,3,4\), ta thấy chỉ có với \(r = 0\) thì \({r^2}\)  mới chia hết cho 5.
Do đó \(n = 5k\) tức là n chia hết cho 5.

Câu b​

\(\forall n \in N, P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left(n \right)\)
Lời giải chi tiết:
Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5”.
Chứng minh.
Nếu n chia hết cho 5 thì \({n^2} - 1\)  chia cho 5 dư 4 và \({n^2} + 1\)  chia 5 dư 1.
Đảo lại, giả sử \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5.
Gọi \(r\) là số dư khi chia \(n\) cho 5 (\(r = 0,1,2,3,4\)).
Ta có \(n = 5k + r\left( {k \in N} \right)\).
Vì \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\)  nên suy ra cả \({r^2} - 1\) và \({r^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5.
Với \(r = 1\) thì \({r^2} - 1 = 0\)  chia hết cho 5.
Với \(r = 2\) thì \({r^2} + 1 = 5\) chia hết cho 5.
Với \(r = 3\) thì \({r^2} + 1 = 10\)  chia hết cho 5.
Với \(r = 4\) thì \({r^2} - 1 = 15\) chia hết cho 5.
Vậy chỉ có thể \(r = 0\) tức là \(n = 5k\) hay \(n\) chia hết cho 5.