Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{\log...

Ta có:
${{\log }_{2022}}\dfrac{x+y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy}=x(x-1)+y(y-1)+xy$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2022}}(x+y)-{{\log }_{2022}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy)={{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}-y+xy$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2022}}(x+y)+(x+y)={{\log }_{2022}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy)+({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy) (*)$
Xét hàm số $f(u)={{\log }_{2022}}u+u, (u>0) \Rightarrow {f}'(u)=\dfrac{1}{u.\ln 2022}+1>0,\forall u>0$
$\Rightarrow f(u)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Nên ta có: $(*)\Leftrightarrow x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-x-y=0\Leftrightarrow {{(x+y)}^{2}}-(x+y)=xy$
Mặt khác: $xy\le \dfrac{{{(x+y)}^{2}}}{4}$ $\Rightarrow {{(x+y)}^{2}}-(x+y)\le \dfrac{{{(x+y)}^{2}}}{4}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}{{(x+y)}^{2}}-(x+y)\le 0\Leftrightarrow 0\le x+y\le \dfrac{4}{3}$
Đặt $x+y=t\Rightarrow 0<t\le \dfrac{4}{3}$.
Ta có: $P=\dfrac{2x+2y+1}{x+y+5}=\dfrac{2t+1}{t+5}=2-\dfrac{9}{t+5}\le 2-\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}+5}=\dfrac{11}{19}$
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $\dfrac{11}{19}$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=y \\
& x+y=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{2}{3}$.