Xét tất cả các số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\dfrac{x+y}{10}+\log...

Ta có
$\begin{aligned}
& \dfrac{x+y}{10}+\log \left( \dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2y} \right)=1+2xy \\
& \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}+\log \left( \dfrac{x+y}{2xy} \right)=1+2xy \\
& \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}+\log \left( x+y \right)-\log \left( 2xy \right)=1+2xy \\
& \Leftrightarrow \log \left( \dfrac{x+y}{10} \right)+\dfrac{x+y}{10}=\log \left( 2xy \right)+2xy,\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\log t+t,\forall t>0$
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 10}+1>0,\forall t>0$, suy ra hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Như vậy $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{10}=2xy\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=20,\left( ** \right)$
Xét $P=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}}$
Ta có
$\begin{aligned}
& \left( \dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{y}^{2}}} \right).\left( \dfrac{1}{4}+1 \right)\ge {{\left( \dfrac{2}{x}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{y}.1 \right)}^{2}} \\
& \Rightarrow P\ge 320 \\
& \Rightarrow \min P=320 \\
\end{aligned}$
Dấu “ $=$ ” xảy ra khi
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=20,\left( ** \right) \\
& \dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{y} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{4} \\
& y=\dfrac{1}{16} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Kết luận $xy=\dfrac{1}{64}$