Google
Câu hỏi: Xét các số thực $x$, $y$ thỏa mãn ${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\le -2{{\log }_{\dfrac{1}{4}}}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3x+4y$.
A. $11+4\sqrt{7}$.
B. $11+5\sqrt{7}$.
C. $11-5\sqrt{7}$.
D. $11-4\sqrt{7}$.
A. $11+4\sqrt{7}$.
B. $11+5\sqrt{7}$.
C. $11-5\sqrt{7}$.
D. $11-4\sqrt{7}$.
Điều kiện $x,y>0$. Bất phương trình đã cho tương đương
${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\le -2{{\log }_{\dfrac{1}{4}}}y\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+y}{x}\le {{\log }_{2}}y\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+y}{x}\le y\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\le xy$.
Xét $0<x\le 1$, ta có ${{x}^{2}}+y\le xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le \left( x-1 \right)y\le 0$ (vô nghiệm).
Xét $x>1$, ta có $P=3x+4y>3x>3$. (1)
Mặt khác $P=3x+4y\Leftrightarrow y=\dfrac{P-3x}{4}$ suy ra
${{x}^{2}}+y\le xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{P-3x}{4}\le x\cdot \dfrac{P-3x}{4}\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-\left( P+3 \right)x+P\le 0$.
Tồn tại $x$, $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $7{{x}^{2}}-\left( P+3 \right)x+P\le 0$ có nghiệm.
Do đó $\Delta ={{\left( P+3 \right)}^{2}}-28P\ge 0\Leftrightarrow {{P}^{2}}-22P+9\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& P\ge 11+4\sqrt{7} \\
& P\le 11-4\sqrt{7}. \\
\end{aligned} \right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $P\ge 11+4\sqrt{7}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$7{{x}^{2}}-\left( 14+4\sqrt{7} \right)x+\left( 11+4\sqrt{7} \right)\le 0\Leftrightarrow x=\dfrac{7+2\sqrt{7}}{7}\Rightarrow y=\dfrac{28+11\sqrt{7}}{14}$.
${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\le -2{{\log }_{\dfrac{1}{4}}}y\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+y}{x}\le {{\log }_{2}}y\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+y}{x}\le y\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\le xy$.
Xét $0<x\le 1$, ta có ${{x}^{2}}+y\le xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le \left( x-1 \right)y\le 0$ (vô nghiệm).
Xét $x>1$, ta có $P=3x+4y>3x>3$. (1)
Mặt khác $P=3x+4y\Leftrightarrow y=\dfrac{P-3x}{4}$ suy ra
${{x}^{2}}+y\le xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{P-3x}{4}\le x\cdot \dfrac{P-3x}{4}\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-\left( P+3 \right)x+P\le 0$.
Tồn tại $x$, $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $7{{x}^{2}}-\left( P+3 \right)x+P\le 0$ có nghiệm.
Do đó $\Delta ={{\left( P+3 \right)}^{2}}-28P\ge 0\Leftrightarrow {{P}^{2}}-22P+9\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& P\ge 11+4\sqrt{7} \\
& P\le 11-4\sqrt{7}. \\
\end{aligned} \right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $P\ge 11+4\sqrt{7}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$7{{x}^{2}}-\left( 14+4\sqrt{7} \right)x+\left( 11+4\sqrt{7} \right)\le 0\Leftrightarrow x=\dfrac{7+2\sqrt{7}}{7}\Rightarrow y=\dfrac{28+11\sqrt{7}}{14}$.
Đáp án A.
