Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ để tồn tại số thực $x>1$ thỏa mãn
B. $15$.
C. $26$.
D. $27$.
$x\left( {{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right) \right)=x{{y}^{4}}+15xy-30+10y$
A. $16$ B. $15$.
C. $26$.
D. $27$.
Đầu tiên ta có phương trình sau: $x\left( {{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right) \right)=x{{y}^{4}}+15xy-30+10y$ (*)
$\Leftrightarrow {{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)={{y}^{4}}+15y-\dfrac{30-10y}{x}\Leftrightarrow {{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)+\dfrac{30}{x}-\dfrac{10y}{x}={{y}^{4}}+15y$ (1)
Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến $y$ luôn đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ( ${f}'\left( y \right)=4{{y}^{3}}+15>0$ $\forall y\in \left( 0;+\infty \right)$ )
Tiếp theo ta khảo sát hàm số $g\left( x \right)={{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)+\dfrac{30}{x}-\dfrac{10y}{x}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=y{{2}^{xy}}\ln 2+\dfrac{1}{x\ln 2}-\dfrac{30}{{{x}^{2}}}+\dfrac{10y}{{{x}^{2}}}$. Thế $y=3$ vào ta có ${g}'\left( 3 \right)={{8}^{x+1}}\ln 2-\dfrac{1}{x\ln 2}>64\ln 2-\dfrac{1}{\ln 2}>0,\forall x>1$
Suy ra $\forall y\ge 3$ thì ${g}'\left( x \right)>0$, kéo theo đó ta có được: $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)>g\left( 1 \right)={{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30 \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty \\
\end{aligned} \right.$.
Khi ấy để (*)có nghiệm $\forall x>1$ thì cần có: ${{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)+\dfrac{30}{x}-\dfrac{10y}{x}>{{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ${{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30<{{y}^{4}}+15y\Leftrightarrow {{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-25y+30-{{y}^{4}}<0{{,}^{{}}}\forall y\ge 3$ (3)
Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE) $y\approx 16,01$ (**), khi đó ta có ý tưởng sau:
Giả sử đảo chiều (3), ta có: ${{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30>{{y}^{4}}+15y\Leftrightarrow {{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-25y+30-{{y}^{4}}>0$ (4).
Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y\ge 17$.
Xét hàm số $h\left( y \right)={{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-25y+30-{{y}^{4}}$ có $h\left( 16 \right)=-366<0;h\left( 17 \right)>0$ nên suy ra $h\left( y \right)<0,\forall y<17$ tức $h\left( y \right)>0,\forall y\ge 17$. Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y\ge 17$ tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi $3\le y\le 17$.
Do (**) nên ta thử từng giá trị $y:3\to 17$ theo thứ tự từ lớn xuống, nhận thấy $y=17$ không thỏa nên $3\le y<17$
Mà đề cho $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là $y\in \left\{ 1;2 \right\}$, nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra $1\le y<17$ tức $y\in \left\{ 1;2;...;15;16 \right\}$. Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên $y$ thỏa mãn đề bài.
$\Leftrightarrow {{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)={{y}^{4}}+15y-\dfrac{30-10y}{x}\Leftrightarrow {{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)+\dfrac{30}{x}-\dfrac{10y}{x}={{y}^{4}}+15y$ (1)
Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến $y$ luôn đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ( ${f}'\left( y \right)=4{{y}^{3}}+15>0$ $\forall y\in \left( 0;+\infty \right)$ )
Tiếp theo ta khảo sát hàm số $g\left( x \right)={{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)+\dfrac{30}{x}-\dfrac{10y}{x}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=y{{2}^{xy}}\ln 2+\dfrac{1}{x\ln 2}-\dfrac{30}{{{x}^{2}}}+\dfrac{10y}{{{x}^{2}}}$. Thế $y=3$ vào ta có ${g}'\left( 3 \right)={{8}^{x+1}}\ln 2-\dfrac{1}{x\ln 2}>64\ln 2-\dfrac{1}{\ln 2}>0,\forall x>1$
Suy ra $\forall y\ge 3$ thì ${g}'\left( x \right)>0$, kéo theo đó ta có được: $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( x \right)>g\left( 1 \right)={{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30 \\
& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty \\
\end{aligned} \right.$.
Khi ấy để (*)có nghiệm $\forall x>1$ thì cần có: ${{2}^{xy}}+{{\log }_{2}}\left( xy \right)+\dfrac{30}{x}-\dfrac{10y}{x}>{{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ${{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30<{{y}^{4}}+15y\Leftrightarrow {{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-25y+30-{{y}^{4}}<0{{,}^{{}}}\forall y\ge 3$ (3)
Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE) $y\approx 16,01$ (**), khi đó ta có ý tưởng sau:
Giả sử đảo chiều (3), ta có: ${{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-10y+30>{{y}^{4}}+15y\Leftrightarrow {{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-25y+30-{{y}^{4}}>0$ (4).
Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y\ge 17$.
Xét hàm số $h\left( y \right)={{2}^{y}}+{{\log }_{2}}\left( y \right)-25y+30-{{y}^{4}}$ có $h\left( 16 \right)=-366<0;h\left( 17 \right)>0$ nên suy ra $h\left( y \right)<0,\forall y<17$ tức $h\left( y \right)>0,\forall y\ge 17$. Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y\ge 17$ tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi $3\le y\le 17$.
Do (**) nên ta thử từng giá trị $y:3\to 17$ theo thứ tự từ lớn xuống, nhận thấy $y=17$ không thỏa nên $3\le y<17$
Mà đề cho $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là $y\in \left\{ 1;2 \right\}$, nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra $1\le y<17$ tức $y\in \left\{ 1;2;...;15;16 \right\}$. Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên $y$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án A.