Có bao nhiêu số nguyên $y$ để tồn tại số thực $x$ thỏa mãn ${{\log...

Đặt ${{\log }_{3}}\left( x+2y \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+2y={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow $ đường thẳng $\Delta :x+2y-{{3}^{t}}=0$ và đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( {{\sqrt{2}}^{t}} \right)}^{2}}$ có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( O,\Delta \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 0+0-{{3}^{t}} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le {{\sqrt{2}}^{t}}\Leftrightarrow {{3}^{t}}\le \sqrt{5}.{{\sqrt{2}}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{9}{2} \right)}^{t}}\le 5\Leftrightarrow t\le {{\log }_{\dfrac{9}{2}}}5$.
Do ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{t}}$ nên $\left| y \right|\le {{\sqrt{2}}^{t}}\Rightarrow \left| y \right|\le {{\sqrt{2}}^{^{{{\log }_{\dfrac{9}{2}}}5}}}\approx 1,448967..$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ -1;0;1 \right\}$.
Thử lại:
- Với $y=-1$, hệ trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x-1={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+1={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}}+1 \right)}^{2}}+1={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{2}^{t}}+2=0$
Nếu $t<0$ thì $2-{{2}^{t}}>0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{2}^{t}}+2>0$.
Nếu $t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}-{{2}^{t}}\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{2}^{t}}+2>0$.
Vậy vô nghiệm.
- Với $y=0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{9}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{9}{2} \right)}^{t}}=1\Leftrightarrow t=0\Rightarrow x=1$.
- Với $y=1$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x+1={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+1={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}}-1 \right)}^{2}}={{2}^{t}}-1 \left( *** \right)$.
Dễ thấy luôn có ít nhất một nghiệm $t=0\Rightarrow x=0$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn là $y=0, y=1$.