Có bao nhiêu số nguyên của $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa...

Đặt $2{{\log }_{3}}\left( x+y+1 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+2{{y}^{2}}+1 \right)=2t$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y+1={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+2x+2{{y}^{2}}+1={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y+1={{3}^{t}} \\
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2{{y}^{2}}={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{9}^{t}}={{\left[ \left( x+1 \right)+y \right]}^{2}}={{\left[ 1.\left( x+1 \right)+\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}y \right]}^{2}}\le \left( 1+\dfrac{1}{2} \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2{{y}^{2}} \right]=\dfrac{3}{2}{{.4}^{t}}$
$\Rightarrow {{\left( \dfrac{9}{4} \right)}^{t}}\le \dfrac{3}{2}\Rightarrow t\le \dfrac{1}{2}$.
Lại có ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+2{{y}^{2}}={{4}^{t}}\Rightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}\le {{4}^{t}}\le {{4}^{\dfrac{1}{2}}}=2\Rightarrow x\in \left\{ -2;-1;0 \right\}$.
Nếu $x=0$ ta có phương trình $2{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$. Ta thấy phương trình này có nghiệm $y=0$.
Nếu $x=-1$ ta có phương trình $2{{\log }_{3}}y={{\log }_{2}}2{{y}^{2}}=2t\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y={{3}^{t}} \\
& 2{{y}^{2}}={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{2.9}^{t}}={{4}^{t}}\Rightarrow t={{\log }_{\dfrac{4}{9}}}2\Rightarrow y={{3}^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}2}}$.
Ta thấy phương trình này có nghiệm $y={{3}^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}2}}$.
Nếu $x=-2$ ta có phương trình $2{{\log }_{3}}\left( y-1 \right)={{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)=2t$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y-1={{3}^{t}} \\
& 2{{y}^{2}}+1={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{2.9}^{t}}+{{4.3}^{t}}+3={{4}^{t}}\left( * \right)$.
Ta có ${{4}^{t}}=2{{y}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow t\ge 0\Rightarrow {{2.9}^{t}}>{{4}^{t}}$. Suy ra $VT\left( * \right)>{{4}^{t}}$ nên phương trình vô nghiệm.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.