Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với mỗi số nguyên $y$ có...

${{7}^{{{x}^{2}}-\left| y-2x+4 \right|}}.{{\log }_{\left( \left| y-2x+4 \right|+5 \right)}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)\le 1$ $\Leftrightarrow {{7}^{{{x}^{2}}+5}}{{.7}^{-5-\left| y-2x+4 \right|}}.{{\log }_{\left( \left| y-2x+4 \right|+5 \right)}}7.{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)\le 1$
$\Leftrightarrow {{7}^{{{x}^{2}}+5}}.{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+5 \right)\le {{7}^{\left| y-2x+4 \right|+5}}.{{\log }_{7}}\left( \left| y-2x+4 \right|+5 \right)$ (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{7}^{t}}.{{\log }_{7}}t$ với $t>1$ nên ${f}' \left( t \right)={{7}^{t}}.\ln 7.{{\log }_{7}}t+\dfrac{{{7}^{t}}}{t.\ln 7}>0,\forall t>1$, hay hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le \left| y-2x+4 \right|$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le \left| y-2x+4 \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y-2x+4\ge {{x}^{2}} \\
& y-2x+4\le -{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y+5\ge {{\left( x+1 \right)}^{2}} \\
& y+3<-{{\left( x-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Phương trình có đúng 5 số nguyên $x$ khi $\left[ \begin{aligned}
& 3>\sqrt{y+5}\ge 2 \\
& 3>\sqrt{-y-3}\ge 2 \\
& y=-4 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 9>y+5\ge 4 \\
& 9>-y-3\ge 4 \\
& y=-4 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1\le y<4 \\
& -12<y\le -7 \\
& y=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 11 giá trị nguyên của $y$ thỏa yêu cầu bài toán.