Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi...

Cách 1: $y'=3{{x}^{2}}-6x+3m$
${\Delta }'=9-9m$
$y'=3{{x}^{2}}-6x+3m=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}({{x}_{1}}<{{x}_{2}})$ $\Leftrightarrow 9-9m>0\Leftrightarrow m<1$
$m<1\Rightarrow {{x}_{1}}=\dfrac{3-\sqrt{9-9m}}{3}=1-\sqrt{1-m},{{x}_{2}}=\dfrac{3+\sqrt{9-9m}}{3}=1+\sqrt{1-m}$
Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3mx+\dfrac{1}{3}$ có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -1;5 \right)$ khi và chỉ khi
TH1.
$\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& -1<{{x}_{1}}<5\le {{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& -1<1-\sqrt{1-m}<5 \\
& 5\le 1+\sqrt{1-m} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& -2<-\sqrt{1-m}<4 \\
& \sqrt{1-m}\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& 2>\sqrt{1-m}>-4 \\
& \sqrt{1-m}\ge 4 \\
\end{aligned} \right.$ Loại.
TH2.
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& {{x}_{1}}\le -1<{{x}_{2}}<5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& -1<1+\sqrt{1-m}<5 \\
& 1-\sqrt{1-m}\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& -2<\sqrt{1-m}<4 \\
& \sqrt{1-m}\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& 2\le \sqrt{1-m}<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& 4\le 1-m<16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& -3\ge m>-15 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -15<m\le -3 \\
& \Rightarrow m\in \left\{ -14;-13;-12;-11;-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3 \right\} \\
\end{aligned}$
Cách 2:
$y'=3{{x}^{2}}-6x+3m$
YCBT $\Leftrightarrow \text{PT }3{{x}^{2}}-6x+3m=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;5 \right)$.
Xét $3{{x}^{2}}-6x+3m=0\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x=-m$.
Hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ có $f'\left( x \right)=2x-2$. Cho $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có bảng biến thiên

Từ BBT suy ra điều kiện $3\le -m<15\Leftrightarrow -15<m\le -3\Rightarrow m\in \left\{ -14;-13;...;-3 \right\}$. Vậy có 12 giá trị thỏa mãn.