Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn...

Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+12x+m-1\Rightarrow {f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12.$
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\notin \left[ 0;2 \right] \\
& x=2\in \left[ 0;2 \right] \\
& x=-2\notin \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right..$

Ta có $m+11-\left( m-1 \right)=12.$
+ Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& m-1\ge 0 \\
& m+11\le 15 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1\le m\le 4 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=1,m=2,m=3,m=4.$
,+ Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& m+11\le 0 \\
& -m+1\le 15 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -14\le m\le -11 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=-14,m=-13,m=-12,m=-11.$
+ Trường hợp 3: $\left\{ \begin{aligned}
& m+11\ge 0 \\
& m+11\ge 1-m \\
& m+11\le 15 \\
& m\in \mathbb{Z},m-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -5\le m<1 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -5,-4,-3,-2,-1,0 \right\}.$
+ Trường hợp 4: $\left\{ \begin{aligned}
& m+11>0 \\
& m+11<1-m \\
& 1-m\le 15 \\
& m\in \mathbb{Z},m-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -11<m<-5 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -10,-9,-8,-7,-6 \right\}.$
Vậy có 19 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.