Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với mỗi số nguyên $y$ có...

Điều kiện: $x+{{y}^{2}}>0$.
Do $x,y\in \mathbb{Z}\Rightarrow x+{{y}^{2}}\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt $t=x+{{y}^{2}}\Rightarrow x=t-{{y}^{2}}$, với mỗi giá trị $t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ có một giá trị $x\in \mathbb{Z}$, khi đó ${{3}^{y-2x}}\ge {{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)$ trở thành ${{\log }_{5}}t-{{3}^{2{{y}^{2}}+y-2t}}\le 0$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{5}}t-{{3}^{2{{y}^{2}}+y-2t}}$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+{{2.3}^{2{{y}^{2}}+y-2t}}.\ln 3>0, \forall t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
$\Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Ta có bảng biến thiên:
YCBT $\Leftrightarrow f\left( 100 \right)={{\log }_{5}}100-{{3}^{2{{y}^{2}}+y-200}}\ge 0$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+y-200-{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{5}}100 \right)\le 0 \\
& \Leftrightarrow -10.28<y\le 9.78 \\
& \Rightarrow y\in \left\{ -10;-9;...;9 \right\} \\
\end{aligned}$
Vậy có $20$ số thỏa đề.