Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi số $y$...

Điều kiện: $x;y\in \mathbb{R},y>0$.
Từ giả thiết. $\dfrac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x-4}{{{3}^{x}}-y}<0$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{3}^{x}}-y}<0\Leftrightarrow \dfrac{x-4}{{{3}^{x}}-y}<0$ $\Leftrightarrow \left( x-4 \right)\left( {{3}^{x}}-y \right)<0$ (1)
+ TH 1: Nếu ${{\log }_{3}}y>4\Leftrightarrow y>81$ thì bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4<x<{{\log }_{3}}y$.
Để bất pt có nghiệm nguyên $x$ và số nghiệm nguyên $x$ không vượt quá $6$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}y\le 11 \\
& {{\log }_{3}}y>5 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\le 177147 \\
& y>243 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 243<y\le 177147 $ $ \Rightarrow $có 176904 số nguyên $ y$.
+ TH 2: Nếu ${{\log }_{3}}y<4\Leftrightarrow y<81$ thì bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}y<x<4$.
Để bất pt có nghiệm nguyên $x$ và số nghiệm nguyên $x$ không vượt quá $6$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}y\ge -3 \\
& {{\log }_{3}}y<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1}{27}\le y<27 $ $ \Rightarrow $có 26 số nguyên $ y$.
Vậy ta có $176904+26=176930$ số nguyên $y$ cần tìm.