Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $y$, bất phương trình $\left(\log _2 x+x-1\right)\left(y-\log _2 x\right)>0$ có nghiệm $x$ và có không quá 20 nghiệm $x$ nguyên?
A. 3 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 4 .
A. 3 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 4 .
Điều kiện: $x>0$
Đặt $f(x)=\log _2 x+x-1 \Rightarrow f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x \cdot \ln 2}+1>0 \quad \forall x>0 \Rightarrow f(x)$ tăng trên $(0 ;+\infty)$
Mặt khác $f(1)=0$ suy ra $f(x)>f(1) \Leftrightarrow x>1 ; f(x)<f(1) \Leftrightarrow 0<x<1$.
Ta có $\left(\log _2 x+x-1\right)\left(y-\log _2 x\right)>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\log _2 x+x-1<0 \\ \log _2 x>y \\ \log _2 x+x-1>0 \\ \log _2 x<y\end{array}\right.\end{array}\right.$
Ta có $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0<x<1 \\ x>2^y\end{array}\right.$ để hệ có nghiệm $x$ thì $2^y<1 \Leftrightarrow y<0$. Không có số nguyên dương $y$ nào thỏa mãn.
Ta có $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>1 \\ x<2^y\end{array}\right.$ để hệ có nghiệm và không quá 20 nghiệm nguyên $x$ thì $1<2^y \leq 22 \Leftrightarrow y \leq$ $\log _2 22 \approx 4,459$. Mà $y$ nguyên dương nên $y \in\{1 ; 2,3,4\}$.
Vậy có đúng 4 số nguyên dương $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $f(x)=\log _2 x+x-1 \Rightarrow f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x \cdot \ln 2}+1>0 \quad \forall x>0 \Rightarrow f(x)$ tăng trên $(0 ;+\infty)$
Mặt khác $f(1)=0$ suy ra $f(x)>f(1) \Leftrightarrow x>1 ; f(x)<f(1) \Leftrightarrow 0<x<1$.
Ta có $\left(\log _2 x+x-1\right)\left(y-\log _2 x\right)>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\log _2 x+x-1<0 \\ \log _2 x>y \\ \log _2 x+x-1>0 \\ \log _2 x<y\end{array}\right.\end{array}\right.$
Ta có $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0<x<1 \\ x>2^y\end{array}\right.$ để hệ có nghiệm $x$ thì $2^y<1 \Leftrightarrow y<0$. Không có số nguyên dương $y$ nào thỏa mãn.
Ta có $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>1 \\ x<2^y\end{array}\right.$ để hệ có nghiệm và không quá 20 nghiệm nguyên $x$ thì $1<2^y \leq 22 \Leftrightarrow y \leq$ $\log _2 22 \approx 4,459$. Mà $y$ nguyên dương nên $y \in\{1 ; 2,3,4\}$.
Vậy có đúng 4 số nguyên dương $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.