T

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá...

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn $\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0?$
A. $2047$.
B. $1022$.
C. $1023$.
D. $1024$.
Ta có
$\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}>0 \\
& {{2}^{x}}-y<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}<0 \\
& {{2}^{x}}-y>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{-1}{2} \\
& x<{{\log }_{2}}y,y>0 \\
\end{aligned} \right.(1) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x<\dfrac{-1}{2} \\
& x>{{\log }_{2}}y,y>0 \\
\end{aligned} \right.(2) \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy (2) không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy $y>0$ nên bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}<{{2}^{x}}<y\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{2}}y.$
Nếu ${{\log }_{2}}y>10\Rightarrow x\in \left\{ 0;1;2;...;10 \right\}$ đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow {{\log }_{2}}y\le 10\Leftrightarrow y\le 1024.$
Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in \left\{ 1;2;3;...;1023;1024 \right\}.$
Vậy có $1024$ giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.
 

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Back
Top