Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá...

Ta có
$(2^{x+1}-\sqrt{2})(2^x-y)<0\iff (2^x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})(2^x-y)<0\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& 2^x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}>0\\ & 2^x-y<0\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& 2^x-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<0\\ & 2^x-y>0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x>{\displaystyle \frac{-1}{2}}\\ & x<{\log }_{2}y,y>0\end{array}(1)\\ & \{\begin{array}{rl}& x<{\displaystyle \frac{-1}{2}}\\ & x>{\log }_{2}y,y>0\end{array}(2)\end{array}$
Nhận thấy (2) không thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy $y>0$ nên bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên khi và chỉ khi
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}<2^x<y\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<{\log }_{2}y.$
Nếu ${\log }_{2}y>10\Rightarrow x\in \{0;1;2;...;10\}$ đều là nghiệm, do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Rightarrow {\log }_{2}y\le 10\iff y\le 1024.$
Mà $y$ là số nguyên dương nên $y\in \{1;2;3;...;1023;1024\}.$
Vậy có $1024$ giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.