Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá $127$ số nguyên $y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+y \right)$ ?
A. $89$.
B. $90$.
C. $46$.
D. $45$.
A. $89$.
B. $90$.
C. $46$.
D. $45$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x+y>0 \\
\end{aligned} \right.$. Ta có
Đặt $x+y=t \left( t>0 \right)$. Khi đó, (1) trở thành ${{x}^{2}}-x\ge {{t}^{{{\log }_{2}}3}}-t$ (2).
Với mỗi số nguyên $x$ có không quá $127$ số nguyên $y$ thỏa mãn (1).
Suy ra với mỗi số nguyên $x$ có không quá $127$ số nguyên dương $t$ ( $t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ) thỏa mãn (2).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{{{\log }_{2}}3}}-t\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\left( {{\log }_{2}}3 \right).{{t}^{\left( {{\log }_{2}}3 \right)-1}}-1>0,\forall t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên ${{\mathbb{N}}^{*}}$.
Nếu có quá $127$ số nguyên dương $t$ thì ${{x}^{2}}-x>{{128}^{{{\log }_{2}}3}}-128=2059.$
Yêu cầu bài toán trở thành
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x+y>0 \\
\end{aligned} \right.$. Ta có
$\begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{3}^{{{\log }_{2}}\left( x+y \right)}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{2}}3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{2}}3}}-\left( x+y \right). \left( 1 \right) \\
\end{aligned}$
(1).Đặt $x+y=t \left( t>0 \right)$. Khi đó, (1) trở thành ${{x}^{2}}-x\ge {{t}^{{{\log }_{2}}3}}-t$ (2).
Với mỗi số nguyên $x$ có không quá $127$ số nguyên $y$ thỏa mãn (1).
Suy ra với mỗi số nguyên $x$ có không quá $127$ số nguyên dương $t$ ( $t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ) thỏa mãn (2).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{{{\log }_{2}}3}}-t\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\left( {{\log }_{2}}3 \right).{{t}^{\left( {{\log }_{2}}3 \right)-1}}-1>0,\forall t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên ${{\mathbb{N}}^{*}}$.
Nếu có quá $127$ số nguyên dương $t$ thì ${{x}^{2}}-x>{{128}^{{{\log }_{2}}3}}-128=2059.$
Yêu cầu bài toán trở thành
${{x}^{2}}-x\le 2059\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2059\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -44\le x\le 45 \\
& x\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x\in \left\{ -44,-43,...,45 \right\}$.
Vậy có $90$ số.Đáp án B.
