Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log _4\left(x^2+y\right) \geq \log _3(x+y)$ ?
A. 29 .
B. 28 .
C. 55 .
D. 56 .
A. 29 .
B. 28 .
C. 55 .
D. 56 .
Ta xét bài toán tương đương: Tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho bất phuoong trình $\log _4\left(m^2+x\right) \geq \log _3(m+x)$ có không quá 242 nghiệm nguyên.
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}m+x>0 \\ m, x \in \mathbb{Z}\end{array} \Rightarrow m+x \geq 1\right.$.
$\log _4\left(m^2+x\right) \geq \log _3(m+x) \Leftrightarrow \log _4\left(m^2+x\right)-\log _3(m+x) \geq 0$
Đặt $t=m+x \geq 1$, trở thành: $\log _4\left(m^2-m+t\right)-\log _3 t \geq 0$.
Mỗi nghiệm $t$ của tương ứng với một nghiệm $x$ duy nhất của.
Xét hàm số $f(t)=\log _4\left(m^2-m+t\right)-\log _3 t(t \geq 1)$.
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{\left(m^2-m+t\right) \ln 4}-\dfrac{1}{t \ln 3}$.
Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m^2-m \geq 0 \Rightarrow m^2-m+t \geq t \geq 1$.
Suy ra $\left(m^2-m+t\right) \ln 4>t \ln 3>0 \Rightarrow f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{\left(m^2-m+t\right) \ln 4}-\dfrac{1}{t \ln 3}<0$.
Vậy hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[1 ;+\infty)$.
Giả sử $n$ là số nguyên thỏa điều kiện $f(n) \geq 0$. Khi đó, do hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[1 ;+\infty)$ nên suy ra: $f(t) \geq f(n) \geq 0 \forall t \in[1 ; n]$.
Hay các số nguyên $t \in[1 ; n]$ đều là nghiệm của.
Do đó, có không quá 242 nghiệm nguyên $\Leftrightarrow f(243)<0$
$\Leftrightarrow \log _4\left(m^2-m+243\right)-\log _3 243<0 \Leftrightarrow \log _4\left(m^2-m+243\right)-5<0$
$\Leftrightarrow\left(m^2-m+243\right)-4^5<0 \Leftrightarrow-27,45 \ldots<m<28,45 \ldots$
Do $m$ nguyên nên suy ra có 56 giá trị nguyên của $m$.
Vậy có 56 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}m+x>0 \\ m, x \in \mathbb{Z}\end{array} \Rightarrow m+x \geq 1\right.$.
$\log _4\left(m^2+x\right) \geq \log _3(m+x) \Leftrightarrow \log _4\left(m^2+x\right)-\log _3(m+x) \geq 0$
Đặt $t=m+x \geq 1$, trở thành: $\log _4\left(m^2-m+t\right)-\log _3 t \geq 0$.
Mỗi nghiệm $t$ của tương ứng với một nghiệm $x$ duy nhất của.
Xét hàm số $f(t)=\log _4\left(m^2-m+t\right)-\log _3 t(t \geq 1)$.
$f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{\left(m^2-m+t\right) \ln 4}-\dfrac{1}{t \ln 3}$.
Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m^2-m \geq 0 \Rightarrow m^2-m+t \geq t \geq 1$.
Suy ra $\left(m^2-m+t\right) \ln 4>t \ln 3>0 \Rightarrow f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{\left(m^2-m+t\right) \ln 4}-\dfrac{1}{t \ln 3}<0$.
Vậy hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[1 ;+\infty)$.
Giả sử $n$ là số nguyên thỏa điều kiện $f(n) \geq 0$. Khi đó, do hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $[1 ;+\infty)$ nên suy ra: $f(t) \geq f(n) \geq 0 \forall t \in[1 ; n]$.
Hay các số nguyên $t \in[1 ; n]$ đều là nghiệm của.
Do đó, có không quá 242 nghiệm nguyên $\Leftrightarrow f(243)<0$
$\Leftrightarrow \log _4\left(m^2-m+243\right)-\log _3 243<0 \Leftrightarrow \log _4\left(m^2-m+243\right)-5<0$
$\Leftrightarrow\left(m^2-m+243\right)-4^5<0 \Leftrightarrow-27,45 \ldots<m<28,45 \ldots$
Do $m$ nguyên nên suy ra có 56 giá trị nguyên của $m$.
Vậy có 56 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.