Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y>0 \\ x+y>0\end{array}\right.$
Đặt $t=\log _3(x+y)$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x+y=3^t \\ x^2+y \geq 4^t\end{array}\right.$
$
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
y=3^t-x \\
x^2+3^t-x \geq 4^t
\end{array} \Rightarrow x^2-x \geq 4^t-3^t \quad(*)\right. \text {. }
$
Xét hàm số $g(t)=4^t-3^t$.
$g^{\prime}(t)=4^t \ln 4-3^t \ln 3$.
$g^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow 4^t \ln 4-3^t \ln 3=0 \Leftrightarrow t=\log _{\dfrac{4}{3}} \dfrac{\ln 3}{\ln 4}<0$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=g(t)$ :
Với mỗi số nguyên $x$ gọi $a$ là số không âm thỏa mãn $x^2-x \geq 4^a-3^a$, trong đó $x^2-x \geq 0 \quad \forall x \in$ $\mathbb{Z}$.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=g(t)$, ta có $4^a-3^a \geq 4^t-3^t \Leftrightarrow a \geq t$.
Mặt khác $y=3^t-x \Rightarrow-x<y=3^t-x \leq 3^a-x$.
Theo yêu cầu bài toán ứng với mỗi $x$ nguyên có không quá 728 số nguyên $y$.
Do đó: $3^a \leq 728 \Leftrightarrow a \leq \log _3 728$
Khi đó: $x^2-x \geq 4^a-3^a \Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{1+4\left(4^a-3^a\right)}}{2} \leq x \leq \dfrac{1-\sqrt{1+4\left(4^a-3^a\right)}}{2}$ $\Rightarrow x \in(-57,4755 ; 58,4755) \Rightarrow x \in[-57 ; 58]$.
Vậy có 116 số nguyên $x$ thỏa mãn bài toán.